二叉树性质及证明

二叉树性质:

(1)规定根节点层次为0，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2i个结点。

(2)规定根节点层次为0，则深度为k的二叉树的最大结点数为2(k+1)-1。

(3)具有n个结点的完全二叉树的深度k为不超过lb(n+1)-1的最大整数。

(4)对于一棵非空二叉树，如果叶节点个数为n0,度为2的结点数为n2,则有n0=n2+1。

(5)对于具有n个结点的完全二叉树，按上下左右顺序对结点从0编号，则对于序号为i的结点有：

如果i>0，则i的双亲序号为(i-1)/2 （/为整除）

如果2*i+1<n，则序号为i结点的左孩子为2*i+1，若大于n，则无左孩子

如果2*i+2<n，则序号为i结点的右孩子为2*i+2，若大于n，则无右孩子

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证明：

（1）根据二叉树的特点，每个结点可分至多两个叉，规律可寻，即得2i。

（2）深度为k的二叉树所有最大结点个数，即满二叉树时，根据（1）每层结点相加，得2(k+1)-1。

（3）根据（2），n个结点必然大于深度为其上一层结点数，小于等于同等深度满二叉结点数，即 2k-1<n<=2k+1-1

移项，两边取2的对数，得 k<lb(n+1)<=k+1

（4）二叉树只有0，1，2度结点所以n=n0+n1+n2

    二叉树的进入分支数，即有双亲的结点数除去根节点 M=n-1

    二叉树的发出结点数，1度发出1个，2度发出2。  可有M=n1+2*n2

    综上可移项得n0=n2+1

（5）对于性质5，可举例图示,按序号代替具体数值

                  0

          1             2

        3    4     5      6 

      7    8

  1号在其层上索引为0，2号在其层索引为1。  同理3号在其层索引为0，5号其层索引为2 。因为二叉树分二叉的特点 可知按照各自本层索引有关系 y=2*x    x为双亲层索引 y为孩子层索引。

  那么只需求得各自层内索引即可，因为按顺序编号，所以各自层索引就是 结点的二叉树索引减去除去本层的结点总数即

2*(i-(2k-1)=j-(2k-1) 移项  i为双亲结点号，j为左孩子结点号 ,

得左孩子结点索引j=2*i+1 。

同理 右孩子j=2*i+2 ,双亲 (i-1)/2

PS:根据性质5 我们就可以用一维数组存储二叉树了，可以索引并修改。 对于性质的应用，举例：哈夫曼编码，总结点数为2*n0-1,有兴趣自行推导