2019-11-26

作者: Gravition | 来源:发表于2019-11-26 09:48 被阅读0次

第八章

$SU(N)$ 群是紧致的单纯李群，它的李代数是 $A_{N-1}$ 。方块权图方法可以计算单纯李群不可约表示状态基的权和生成元在这组状态基里的表示矩阵，但对状态基的波函数形式没有提供具体信息。本章研究 $SU(N)$ 群张量空间的约化，用杨算符的方法确定它的不可约张量子空间，计算这些张量子空间中的独立和完备的张量基，并与方块权图方法结合起来，把这些不可约张量基正交归一化，具体给出不可约表示状态基的波函数。此外，本章还讨论 $SU(N)$ 群不可约表示的性质及其应用。

$SU(N)$ 群元素是 $N \times N$ 矩阵，它的变换空间是 $N$ 维复空间，这空间的矢量有 $N$ 个复分量，在 $u \in SU(N)$ 变换中按下式变换

$V_a \stackrel{u}{\to} V^\prime_a \equiv (O_u V)_a= \sum\limits_{b=1}^N u_{ab} V_b$

$SU(N)$ 群的 $n$ 阶张量 $T_{a1,\ldots,an}$ 有 $n$ 个指标， $N^n$ 个分量，在 $SU(N)$ 变换 $u$ 中，每个指标都像矢量指标一样变换

$T_{a1,\ldots,an} \stackrel{u}{\to} (O_u T)_{a1,\ldots,an}=\sum\limits_{b1\ldots bn} u_{a1,b1}\ldots u_{an,bn}T_{b1,\ldots,bn}$

也就是说， $SU(N)$ 群的 $n$ 阶张量空间对应的表示是 $n$ 个自身表示的直乘表示。
直乘表示一般是可约表示。
例如对于 $SU(2)$ 群，
$D^{1/2}\times D^{1/2}\times D^{1/2}\simeq D^{3/2} \oplus 2 ~ D^{1/2} \\ D^{1/2}\times D^{1/2}\times D^{1/2}\times D^{1/2}\simeq D^{2} \oplus 3~D^{1} \oplus 2~D^{0}$

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