第一章 自然数串

序言 方法比结果更重要
从进一步研究的观点看，方法比结果更重哭，但是这种方法在下而这么一本书的框架中不能很好地加以说明。希望一些读者能感到足够的兴趣，继续方法的研究，正是由于方法，数逻辑可以有助于传统哲学问题的探讨，但是这个题目我们在下面不打算讨论。

第一章 自然数串

数学这门学问当我们从它的最熟悉的部分开始时，可以沿着两个相反的方向逃行。比较熟悉的方向是构造的，趋向于渐增的复杂,如: 从整数到分数,实数,复数; 从加法和乘法到微分与积分以至更高等的数学。至于另一方向对于我们比较生疏，它是由分析我们所肯定的基本概念和命题，而进入愈来愈高的抽象和逻辑的单纯;取这种方向，我们不问从我们开始所肯定的东西能定义或推演山仆么，却追问我们的出发点能从什么更普遍的概念与原理定义或推演出来。研究进行的方向不同是数理哲学的特点，就是这个特点使数理哲学与普通数学大异其趣。但是我们必须了解这区别不在土题内容，而在研究者的思想状况。早期希腊儿何学家从埃及人陆地测量的经验规则，得到了能证明这些规则的普遍命题，并且由这些普遍命题达到欧几里得的公理与公设，按照上面的解释，他们确是从事于数理哲学，但如我们在欧几里得几何中所见，一旦达到公理与公设,它们的演绎的运用却属于普通意义的数 学。总之,数学与数理哲学之间的区分取决于激发研究的兴趣上，和研究所达到的阶段上; 而不在研究所及的命题。

这个区别我们还可以另一种方式叙述。在数学中最明显易知的概念,从逻辑上来说,并不是初始的概念;从逻辑演绎的观点看，它们是出现在中途某处的概念。就如最易见的物体是那些既不其远，也不很近,既不过大，也不太小的物体;同样,最易把译领会的概念是那些既不过于复杂，也不十分简单(我们用逻辑意义上所谓的“简单”)的概念。并且正如我们需要两种工具，望远镜和显微镜，以扩大我们的视力一样;我们需要两种工具以护张我们的逻辑能力:一个能引导我们进到高等数学;一个能带领我们溯我们在数学中所习用，假定的概念和命题的逻辑基础。由于分析我们的普通的数学概念，追究它们的逻辑基础，我们将发现我们获得了新的见识,新的能力，并且由于在这番探讨后,采取新的前进路线，我们可以获得一种方法以达到完全崭新的数学题材。

本书的目的是简单地，不用专门技巧地解释数理哲学，凡初步讨论所难解说的、不确定的或困难的部分，不予涉及。欲求详尽的研讨，可见《数学原理》(《Principia Mathematica》)一书。本书的讨论只想作为一个引论。

对于今日受过初等教育的人，数学最明显的出发点就是整串
1,2,3,4..-等等。

仅仅在文明的高级阶段上，我们方能以这一申数作为我们的起点。发现一对鸡、两昼夜都是数 2的实例，一定需要很多年代其中所包含的抽象程度确实不易达到。至于1是一个数的发现也必定很困难。说到 0，这更是晚近加入的，希腊人和罗马人没有这个数字。假使我们曾经从事于早期的数理哲学的研究，我们必得从比自然数串不那么抽象的东西人手，而以自然数串作为在我们追溯的探讨中所达到的一个阶段。反之，当我们对数学的逻辑基础逐渐熟悉时，我们可以追溯到比现在所达到的更远的地方，那时我们的出发点将是在分析中比自然数还较后的一个阶段。但是在目前，自然数似乎代表数学中最易知最熟悉的东西。

这段介绍很经典

从前，毕达哥拉斯相信，不仅数学，就是其它各种事理都能从数演绎出来，在把数学“算术化”时,他发现一个极严重的困难，那就是不可通约量，特别是正方形的边与对角线不可通约性的存在。如果正方形边长一寸,那么对线的寸数是 2的平方根可是这似乎根本不是一个数。这样引起来的问题只是在我们的时代才被解决，并且只是借助于把算术归约到逻辑才得以完全解决，这一点我们将在以下诸章中阐明。至于现在，我们姑且承认数学的算术化。虽然这是一个非常重要的功绩,但是我们不拟详论。

数之间的不可通约，是严重的问题。因为自然数之间基于加1，是可以相互通约的。这就带来不可通约的数作为为自然数所奠基的东西带来挑战。

皮亚诺算术中的三个基本概念是
0，数，后继
他以“后继”(successor) 指在自然次序中一数的次一数。也就是说，0的后继是 1，1的后继是 2，如此类推。至于他所谓“数”是指所有自然数所构成的类(class)。他没有假定我们知道这类中所有的分子,仅假定当我们说这个或那个是一个数时，我们知道我们何所指，正如我们不知道所有的个别的人，而当我们说“琼斯是一个人”时,我们知道我们何所指一样。

类，在罗素就是弗雷格在算术基础里的概念，可以为对象谓述的概念。比如 这屋子里的人 这样的概念，它可以为这个屋子里的这些人（A,B,C)所谓述。
在这里，值得区分 红的东西 这种处于其下的对象是无穷的概念，和 这屋子里的人 这种处于其下的对象是有限的概念。前者本质上是不满足的，为内涵所定义。后者本质上是满足的，为给出的某些对象所谓述。

但是，还没有看到对于这点的明确区分。在罗素后面的内涵和外延里联系着看

现在我们要越过皮亚诺的研究而进人弗芮格(Frege)的探讨，这是件必然的事，我们且思考其所以为必然的理由。我们已知皮亚诺将数学“算术化”做到最后完善的地步，弗芮格则第一个成功地将数学“逻辑化”。他的前辈们证明了一些算术概念对于数学是充分的，他再将这些算术概念归约到逻辑。本章中我们不预备实际陈述弗芮格的数和个别的数的定义,但是我们将说出一些理出，为什么皮亚诺的研究不如它看起来那样的根本，或者简单地说，不够彻底，以致还要有人作进一步的研究。

随后罗素对于皮亚诺的研究的批评，集中在符号——意义之间的语法语法问题。“0”在这里由于没有受到定义，可以引起很多歧义。并且这些歧义意义上对于0的理解就理论而言是合法的。数这个概念的定义也是同样。
由此引入对于弗雷格的工作的关注。弗雷格作出的恰恰是对于数的定义，奠基于逻辑。
这就不可避免地，由于要处理最简单的概念比如0，数的定义，把语言哲学引入进来。分析哲学，基于语境原则从命题的真反过来使用概念来刻画对象，这就为最简单的对象比如数、0 的刻画或定义提供了条件。分析 这个概念怎么理解？