从多样性谈起到dpp

在推荐算法中，除了要考虑个性化，还要兼顾多样性，不然用户很快就会觉得单调无趣。
在衡量推荐结果的多样性时，自然而然能想到的是统计推荐结果中含有不同tag的个数，tag的个数越多，多样性越好。但是这种指标有个问题，它与用户看的内容条数正相关，用户看的内容条数越多，自然tag个数会越多。假设一条feed平均有3个tag，只看了1条feed用户的多样性指标是3；看了10条feed的用户，总共有30个 tag，假设有50%的重合度，有15个不同tag，大大高于看了1条feed的用户。
为了抵消feed条数的影响，于是有人又想到了用不同tag个数/feed条数。这样乍看起来比较合理，但其实又会与feed条数负相关了。还是以上面的例子来计算，看了1条feed的用户，多样性指标是3/1=3； 看了10条feed的用户，多样性指标是15/10=1.5，低于看了1条feed的用户。只要看过的多条feed之间有重复的tag，多样性指标就会低于只看了1条feed的用户。
以上两种指标都与用户的行为条数相关，都不是稳定的指标。下面介绍一个稳定的指标，用feed两两之间不同tag个数的总和/feed两两组合个数，代码如下：

def compute_diversity(item_list, item_cate_map):
    n = len(item_list)
    diversity = 0.0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            diversity += item_cate_map[item_list[i]] != item_cate_map[item_list[j]]
    diversity /= ((n-1) * n / 2)
    return diversity

这个指标基本与用户的行为条数无关了，因此是稳定的。
但上面的指标也有个问题，就是过度依赖feed的tag。tag描述有两个问题：一是无法全面表示feed内容，另外是tag的粗细粒度不一致，比如汽车和宝马都是tag，但他们的描述范围差别很大。我们知道，embedding向量可以用来表示feed，而且粒度相对一致。那么可不可以用embeding代替tag来计算多样性呢，答案是肯定的。
用fi表示feedi的embedding；用<fi,fj>表示两个embedding的点积，点积代表两个向量的相似度；用1-<fi,fj>表示两个向量的差异性，即两个feed之间的差别程度。参考上面tag的方式，可以用如下公式来计算feed列表的多样性：

这个公式有点不完美的是只考虑了两个feed之间的差别，没有考虑多个feed之间的整体差别，举个极端点的例子：假设第一组3个feed，A与B的点积为1，C与A、B的点积都为0，用上面公式计算这3个feed的多样性为(0+1+1)/3=2/3; 第二组3个feed，A、B、C之间的点积都为0.5，多样性为(0.5+0.5+0.5)/3=0.5; 单纯从指标上来看，第一组的多样性要高于第二组。但实际上第二组的多样性更好，因为第一组feed A与B完全一样， 第二组3个feed两两之间的差别比较均匀。
那么有没有更好的方式来计算feed列表的多样性呢。我们知道feed embedding是一个向量，向量之间的夹角代表feed的差别大小，夹角越大差别越大。那么我们可以用列表中所有feed embedding向量撑起的多维体的体积来表示整个列表的多样性，体积越大多样性越好，这既考虑了feed两两之间的差别，也考虑到了整体差别的均匀性，不会因为某两个feed差别过大而忽略了其他feed的差别。

多维体体积.png

下面介绍怎么计算体积，定义矩阵L，，表示feed embedding两两之间的点积,其中r表示feed embedding向量的长度，归一化的embedding一般为1, 表示两个feed之间的夹角，矩阵的格式如下：

先下结论矩阵L的行列式|L|即为多维体体积的平方。
先看两维的情况：
,
这正好是f1、f2两个embedding向量组成的平行四面体的面积平方值。

平行四边形.png

再看三维的情况：

这正好是f1、f2、f3三个embedding向量组成的平行六面体的体积平方值

平行六面体.png

依此类推，n维矩阵L的行列式为f1、f2、···、fn组成的多维体的体积平方值。
至此，我们可以用列表中feed embedding向量两两之间的点积组成矩阵L，然后计算L的行列式值表示该列表的多样性。这种方式可以比较完美的衡量一个feed列表的多样性。
在推荐算法中还有一种应用场景，就是在排序后的m个feed中选出k（k<m）个feed，使这k个feed的排序分尽量高，同时多样性最大化。这时不能只考虑多样性了，还要兼顾排序分。我们可以改造一下上面的矩阵L，使，其中s表示feed的排序分，也就是使原来feed embedding向量长度伸缩s倍。伸缩后的向量组成的多维体体积越大，即边长（排序分）尽量大的同时，夹角（多样性）也要尽量大，这样同时兼顾了排序分和多样性。这即是著名的dpp算法了。
在实际使用中，还可以修改一下矩阵L，使，通过修改w来调节排序分与多样性之间的权重，使结果更偏重于排序还是多样性。对不同的用户用不同的w，即可以实现多样性的个性化。对不同排序模型用不同的w来消除不同排序模型对dpp的bias影响。