矩阵

向量是标量的数组，矩阵是向量的数组。

n维向量 x (N*M的矩阵) = M维向量

矩阵就是映射。矩阵可以描述任意线性变换，而线性变换的可以拉伸坐标系，但不会弯曲，也不会平移。所以同维度不可以做平移处理。

方阵

行和列相同的矩阵 (2 * 2) (3 * 3) (4 * 4)常用
方阵的对角线元素：即i=j的元素例如： a[1][1]和a[2]a[2]
对角矩阵：所有非对角线元素为0的
单位矩阵：对角矩阵中所有对角线元素值为1

转置矩阵

image.png

矩阵乘法

标量乘以矩阵，矩阵的每个元素乘以标量。
矩阵乘以矩阵：
条件：rn 和nc 得到r*c

计算

向量乘以矩阵

注意：行向量，列向量是不同的，计算结果不同，所以应该注意区分。

二维向量*二维矩阵

可以表示旋转和缩放

二维绕原点
延坐标轴Y轴缩放Kx和Y轴缩放Ky

投影：
正交投影(平行投影)：在某个轴用0做缩放，
正交投影属于降维操作，比如3维投影到2维，
其投影被舍弃的维度用0，其他维度用1，处理降维。

二维降维到一维

二维向量*三维矩阵

有点P移动了[Dx,Dy]到点Q,可以列出一下方程组：
Px +Dx=Qx
Py +Dy=Qy
我们变换一下方程
Px + (0Py) +Dx = Qx
(0Px) + Py + Dx = Qy
矩阵是映射，我们可以得到以下矩阵
| 1 | 0 | dx |
| 0 | 1 | dy |
该矩阵可以表示平移操作

三维向量*三维矩阵

矩阵可以描述任意线性变换，而线性变换的可以拉伸坐标系，但不会弯曲。
常用的变换有：
旋转，缩放，投影，镜像，放射
旋转：

三维绕x轴

缩放：

延坐标轴3d

投影：
正交投影(平行投影)：在某个轴用0做缩放，
正交投影属于降维操作，比如3维投影到2维，
其投影被舍弃的维度用0，其他维度用1，处理降维。

image.png

镜像：反射

任意轴2d
任意轴3d

切变：

image.png

如上图的

x轴被y切变 y轴被x轴切变 3d切变

在其所在轴对其他轴的切变

变换的分类

image.png

矩阵2

矩阵的行列式

运算简图

连写两遍矩阵，左对角线之和减去右对角线

2d中：行列式等于，其两向量拼合的平行四边形面积
3d中：行列式等于，其三向量拼合的六面体体积

矩阵的逆

可以做变换的反向，比如：撤销。
但是有些矩阵是不可逆的，如果出现不可逆矩阵，那将无法还原。
比如：

1. 降维操作。

正交矩阵

矩阵乘以矩阵的转置，等于单位矩阵。称为正交矩阵
常规用法不太明白，后期补。

矩阵的正交化：对于一个外部的矩阵进行部分的修复。

4*4的齐次空间

3*3矩阵能表示变换，不能表示平移。
4d矩阵的w维度，常用于处理3d的平移。
即：
| 1 | 0 | 0 | dx |
| 0 | 1 | 0 | dx |
| 0 | 0 | 1 | dy |
| 0 | 0 | 0 | 1 |

透视投影

回顾平行(正交)投影，属于

image.png