矩阵的乘法 第 i 行 第 j 列的元素是
定义矩阵乘法之后，会发现 矩阵不满足交换律
一般不成立。
为什么我们不定义一种可以满足交换律的矩阵乘法？比如让 对应每个位置的元素相乘？
这样的话，确实满足交换律，但是这种乘法的毛病也很明显
- 对于线性方程组求解没什么实质的帮助
- 对于线性变换而言，这样的矩阵和线性变换没啥关系
背离了矩阵引入的初衷——它最终要服务于两个基本的场景，解方程组和处理向量空间上的线性变换。
事实上，矩阵从线性方程组抽象出来之后，它的乘法的定义就确定了，而方程组就是线性变换的具象形式。
对于矩阵的乘法运算，它有几个反直觉的特性
- 第一个自然是不满足交换律
- 第二个，它通常也不满足消去率，即
一般不能推倒出
- 第三个 如果
未必会有一个是零矩阵
这些特性说明矩阵空间在其乘法和一般的实数，整数，有理数系有重大的区别。
跟矩阵有关的其它运算
- 矩阵的转置，
将矩阵
的每个元素的行列置换位置
- 矩阵的幂 只有方阵能幂运算，即
- 矩阵的迹
将矩阵对角线上的数求和
- 矩阵的逆。对于实数, a 的逆是与 a相乘等于 1 的数。
矩阵的逆
在矩阵家族里，有没有类似 1 这样的矩阵？有没有类似 0 这样的零矩阵？
如果有一种矩阵 , 满足
那它好比实数1一样具有单位元的特性。
如果有一种矩阵 它满足
那么 具有 实数 0 的特性。
从矩阵的乘法和 维情况 出发，我们很容易发现
零矩阵应该是这样
单位矩阵应该是这样
然后把使得 成立的 B 称为矩阵 A 的右逆，使得
成立的 B称为右逆。若要统一
则需要规定
是
方阵
这样的话，对于方程
如 是
方阵 ，就能左乘 A 的逆而求得方程组的唯一解
问题
- 什么样的方阵存在逆矩阵，如何计算逆矩阵
- 逆矩阵和逆变换的关系？
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