矩阵理论

行列式的本质是什么？

• 线性变换的伸缩因子
• 行列式 > 0 缩放
• 行列式 < 0 缩放+改变基的“左右手法则”

矩阵乘法的本质是什么？

• 一种运动
• 运动的速度：特征值
• 运动的方向：特征向量

• 秩：图像经过矩阵变换之后的空间维度

  
  

与全部线性组合构成的向量集合称为“张成的空间” （span）

线性无关：对于a和b取所有值都有

基的严格定义：向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关的向量集

线性变换是操纵空间的一种手段，它保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不动。这种变换可以用把变换后的基做为列向量所构成的矩阵来表示。

矩阵向量乘法就是计算线性变换作用于给定向量

将矩阵相乘看作是对空间进行复合线性变换，即两个变换相继作用 。

秩代表变换后空间的维数

矩阵的列张成的空间就是列空间，秩是列空间的维数

列空间让我们清楚什么时候解存在，零空间有助于我们理解所有可能的解的集合是什么样的

变换后落在原点的向量的集合被称为矩阵的“零空间”或“核”

点积： 投影

点积的投影可以看成一种线性变换

叉积：

1. 根据和定义一个三维到一维的线性变换
   

   

2. 找到它的对偶向量(这个变换和与对偶点乘等价）

   
   

3. 计算方法角度

   
   

4. 从几何角度，可以推断这个向量必然与和垂直，并且其长度与这两个向量张成的平行四边形的面积相同。
   

   

5. 这两种方法给出了同一个变换的对偶向量，因此这两个向量必然相同

   
   

基坐标的转换

M代表我所见变换，外侧两个矩阵代表着转移作用，也就是视角上的转换。矩阵乘积仍然代表着同一个变换，只不过是从其他人的角度来看的。

特征值与特征向量

对角矩阵的解读：所有基向量都是特征向量，矩阵的对角元是它们所属的特征值

对角矩阵更容易进行一些事情，如自己与自己相乘。

之所以把矩阵变换为对角矩阵，是因为在该矩阵的特征基上，只进行尺度变换，可以减少运算量。

行列式告诉你的是一个变换对面积的缩放比例，特征向量则是在变换中留在它所张成的空间中的向量。

线性变换：

• 满足齐次性和可加性。（抽象）

• 操纵空间的一种手段，它保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不动。（具体）