矩阵分析 (八) 矩阵的直积

作者: 小小何先生 | 来源:发表于2020-01-15 20:32 被阅读0次

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矩阵的直积(Kronecher 积)是一种重要的矩阵乘积，它在矩阵理论研究中起着重要的作用，是一种基本的数学工具。本文介绍矩阵直积的基本性质，并利用矩阵的直积求解线性矩阵方程组和矩阵微分方程组。

直积的定义和性质

定义8.1：设矩阵：

$A=(a_{ij})_{m \times n}，B=(b_{ij})_{p \times q}$

称如下的分块矩阵：

$A \otimes B =\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} B} & {a_{12} B} & {\cdots} & {a_{1 n} B} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {a_{m 1} B} & {a_{m 2} B} & {\cdots} & {a_{m n} B} \end{array}\right)$

为 $A$ 与 $B$ 的直积或者Kronecher积。

可见 $A \otimes B$ 是 $mp \times nq$ 矩阵。

矩阵的直积有下列性质：

1、设 $K$ 为常数，则：
$k(A\otimes B) = (kA) \otimes B=A \otimes (kB)$
2、设 $A_{1}，A_{2}$ 为同阶矩阵，则：
$(A_{1}+A_{2}) \otimes B = A_{1} \otimes B+A_{2} \otimes B$
$B \otimes (A_{1}+A_{2}) = B \otimes A_{1}+B \otimes A_{2}$
3、：
$(A \otimes B)^{T}=A^{T} \otimes B^{T}$
4、：
$(A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C)$
5、设： $A=(a_{ij})_{m \times n}$ ， $B=(b_{ij})_{p\times q}$ ， $C=(c_{ij})_{n \times s}$ ， $D=(d_{ij})_{q \times t}$ ，则：
$(A \otimes B)(C \otimes D) = (AC) \otimes (BD)$
6、设：
$A \in C^{n \times n}，B \in C^{n\times n}$

都可逆，则 $A \otimes B$ 也可逆，且：

$(A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}$

7、设 $A \in C^{n \times n}$ ，设 $B \in C^{n \times n}$ 都是酉矩阵，则 $A \times B$ 也是酉矩阵。
8、设 $A \in C^{m \times m}$ 的全体特征值是 $\lambda_{1}$ ， $\lambda_{2}$ ， $\cdots$ ， $\lambda_{m}$ ， $B \in C^{n \times n}$ 的全体特征值是 $\mu_{1}$ ， $\mu_{2}$ ， $\cdots$ ， $\mu_{n}$ ，则 $A \otimes B$ 的全体特征值是：
$\lambda_{i}\mu_{i}$
9、设 $A \in C^{m \times m}$ ， $B \in C^{n \times n}$ ，则 $|A \otimes B| = |A|^{n} ·|B|^{m}$ 。
10、设 $A \in C^{m \times m}$ 的特征值是 $\lambda_{1}$ ， $\lambda_{2}$ ， $\cdots$ ， $\lambda_{m}$ ， $B \in C^{n \times n}$ 的特征值是 $\mu_{1}$ ， $\mu_{2}$ ， $\cdots$ ， $\mu_{n}$ 则：
$A \otimes E_{n} + E_{m} \otimes B$

的特征值是：

$\lambda_{i} + \mu_{j}$

11、设 $A \in C^{m \times m}$ 的特征值是 $\lambda_{1}$ ， $\lambda_{2}$ ， $\cdots$ ， $\lambda_{m}$ ， $B \in C^{n \times n}$ 的特征值是 $\mu_{1}$ ， $\mu_{2}$ ， $\cdots$ ， $\mu_{n}$ ，则 $A \otimes E_{n} + E_{m} \otimes B^{T}$ 的特征值也是 $\lambda_{i}$ + $\mu_{j}$ 。
设 $x$ 是 $A\in C^{m \times m}$ 的特征向量， $y$ 是 $B \in C^{n \times n}$ 的特征向量，则 $x \otimes y$ 是 $A \otimes B$ 的特征向量。
设 $A \in C^{n \times n}$ ，则：

$e^{E \otimes A} = E \otimes e^{A}，e^{A \otimes E} = e^{A} \otimes E$

设 $A \in C^{m \times m}$ ， $B \in C^{n \times n}$ 则：
$e^{A \otimes E_{n} + E_{m} \otimes B} = e^{A} \otimes e^{B}$

直积的应用

本节讨论直积在解线性矩阵方程组中的应用。

拉直

定义8.2：设矩阵 $A=(a_{ij})_{m \times n}$ ，称 $mn$ 维列向量：

$\underset{A}{\rightarrow} = (a_{11} \cdots a_{1n}，a_{21} \cdots a_{2n}，\cdots ，a_{m1} \cdots a_{m n})^{T}$

为 $A$ 的拉直。

拉直具有下面的性质：

设 $A，B \in C^{m \times n}$ ， $k$ 与 $l$ 为常数，则：

$\overrightarrow{k A+l B}=k \overrightarrow{ A}+ l \overrightarrow{ B}$

设 $A=(a_{ij}(t))_{m \times n}$ 则：

$\frac{\overrightarrow{dA}}{dt}=\frac{d \overrightarrow{A}}{dt}$

定理8.1 设：

$A \in C^{m \times n}，B \in C^{p \times q}，X \in C^{n \times p}$

则：

$\overrightarrow{AXB} = (A \otimes E_{n})(E_{m} \otimes B^{T}) \overrightarrow{X}$

$= (A \otimes B^{T}) \overrightarrow{X}$

$\overrightarrow{AX+BX} = (A \otimes E_{n} + E_{m} \otimes B^{T}) \overrightarrow{X}$

线性矩阵方程组

下面讨论几种类型方程组的解：设

$A \in C^{m \times m}，B \in C^{n \times n}，F \in C^{m \times n}$

解Lyapunov矩阵方程：

解将矩阵两边拉直：

$(A \otimes E_{n}+E_{n} \otimes B^{T}) \overrightarrow{X} = \overrightarrow{F}$

因为矩阵方程与所得的线性方程组等价，得到矩阵方程组有解的充要条件是：

$r(A \otimes E_{n} + E_{m }\otimes B^{T}，F)$

$= r(A \otimes E_{n} + E_{m }\otimes B^{T})$

有唯一解的充要条件是：

$|A \otimes E_{n} + E_{m} \otimes B^{T}| \neq 0$

设 $A，F \in C^{n \times n}$ ，且 $A$ 的特征值都是实数，证明矩阵方程：

$X + AXA + A^{2}XA^{2} =F$

有唯一解。

例10 设

$A \in C^{m \times m}，B \in C^{n \times n}，X(t) \in C^{m \times n}$

求解矩阵微分方程组的初值问题：

$\left\{\begin{array}{l} {\frac{d X}{d t}=A X+X B} \\ {X(0)=X_{0}} \end{array}\right.$

解将矩阵两边拉直：

$\left\{\begin{array}{l} {\frac{\overrightarrow{dX}}{\mathrm{d} t}=\left(A \otimes E_{n}+E_{n} \otimes B^{\mathrm{T}}\right) \vec{X}} \\ {\vec{X}(0)=\vec{X}_{0}} \end{array}\right.$

这是常系数齐次线性微分方程组，它的解：

$\overrightarrow{X}(t) = e^{A \otimes E_{n} + E_{m} \otimes B^{T} t} \overrightarrow{X_{0}}$

$= (e^{At} \otimes e^{B^{T}t}) \overrightarrow{X_{0}}$

再由：

$\overrightarrow{AXB} = (A \otimes B^{T})\overrightarrow{X}$

$(e^{At} \otimes e^{B^{T}t}) \overrightarrow{X_{0}}=\overrightarrow{e^{At}X_{0}e^{Bt}}$

所以：

$\overrightarrow{X}(t) = \overrightarrow{e^{At}X_{0}e^{Bt}}$

$X(t) =e^{At}X_{0}e^{Bt}$

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