在做ANOVA时，有时候会遇到不满足正态分布，以及方差不齐性（heteroskedastic, heterogeneity of variance）的情况。其中方差不齐性也和不满足正态分布有关，不满足正态分布也和数据本身的特征、样本量有关。对于数据分布，正态分布检验是比较严格的，一般来说也可以结合Q-Q图、P-P图等等，并根据前人文献、理论模型来argue数据是否可以被视为近似正态分布，或者直接在limitation部分进行说明。但是方差不齐性涉及到Levene's Test，这个就不好argue了。

对于方差不齐性的情况，解决方法包括数据转换、改用非参数检验等等。但是有时候数据本身的趋势就偏态的，所以无论怎么转换都难以改变分布形态和组间的方差差异；同时非参数检验也会导致无法检验交互作用、统计检验力降低等问题。

这里说一下直接对ANOVA的估计系数进行异方差校正（heteroscedasticity correction）的方法。

1 Welch's correction

原理是基于每个组的样本量和方差对自由度进行校正，适用于假设组间方差不齐性的单因素方差分析（注：不过，类似于重复测量ANOVA的sphericity correction的报告，推荐还是报告原始的自由度，并在Method部分说明使用的校正方法）。

使用方法是借助R语言中的基础函数oneway.test，并将参数var.equal设置为FALSE。例子如下。其中not assuming equal variances说明我们采用了假设方差不齐性的检验方法，也就是Welch's Test或者说Welch's ANOVA。

> oneway.test(extra~group, data=sleep, var.equal=F)

    One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data:  extra and group
F = 3.4626, num df = 1.000, denom df = 17.776, p-value = 0.07939

2 White's correction

原理是直接对协方差矩阵的系数进行异方差校正，适用于非重复测量的单因素和多因素方差分析。使用方法是借助car包的Anova函数，并将参数white.adjust设置为TRUE。

mod <- lm(conformity ~ fcategory*partner.status, data=Moore, contrasts=list(fcategory=contr.sum, partner.status=contr.sum))
Anova(mod, white.adjust=T, type=3)

结果如下。开头的Coefficient covariances computed by hccm()说明用了hccm函数计算异方差校正的协方差矩阵。

Coefficient covariances computed by hccm()
Analysis of Deviance Table (Type III tests)

Response: conformity
                         Df        F    Pr(>F)    
(Intercept)               1 228.3076 < 2.2e-16 ***
fcategory                 2   0.9110  0.410497    
partner.status            1   9.5073  0.003749 ** 
fcategory:partner.status  2   2.8294  0.071218 .  
Residuals                39                       
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

References

• Welch, B. L. (1951). On the comparison of several mean values: an alternative approach. Biometrika, 38, 330–336.
• White, H. (1980). A heteroskedastic consistent covariance matrix estimator and a direct test of heteroskedasticity. Econometrica, 48, 817–838.
• Anova函数
• hccm函数
• oneway.test函数