复合函数求导方法

作者: 7300T | 来源:发表于2019-03-23 14:20 被阅读420次

问题

函数 $y=(2 x+3)^{8}$ ，求其导数

思路1（一种错误的思路）

因为 $(x^8)^{\prime}=8x^7$
所以： $\color{red} {y^\prime =8(2x+3)^7}$
想一想为什么红色的答案是错的。

思路2（一种正确但是很麻烦的方法）

你知道 $x^{n}$ 和 $f(x)+g(x)$ 的求导方法，所以你想把它先展开：
$(2 x+3)^{8}=$
$256x^{8}+3072 x^{7}+16128 x^{6}+48384 x^{5}$
$+90720 x^{4}+108864 x^{3}+81648 x^{2}+34992 x+6561$
如果有耐心和时间，这样也可以求得结果，但如果我们这样做的话，那下面介绍的方法就没有意义了。因此我们要推导一个公式，以便可以不进行多项式乘法就能求导。再重复一下，公式是为简化运算而产生的。
如果用公式无法轻松处理复杂的计算，又怎么能叫“公式”呢？
简化这类运算的方法就是“复合函数求导法”。

思路3（复合函数求导法）

如果该算式是 $y=x^8$ ，那么根据已知的x的求导公式，1秒钟就能得出结果。而函数式 $y=2x+3$ 根据 $f（x）+g（x）$ 的求导公式也能在1秒钟内计算出答案。不过将它们组合起来，就太难了，不知如何下手。
有句话“一根筷子轻轻被折断，一双筷子牢牢抱成团”，一双筷子是比一根筷子难以折断。
个体都是可以瞬间解决，复合函数的基本求导思想就应该是“在个体汇集之前就解决掉它们”。
因此，我们要把 $y=（2x+3）^8$ 分成两个部分。在组合组件时，我们通常都是先将每部分分别组合后再进行整体组装，求导也是如此，我们要将可简单求导的 $y=x^8$ 和 $y=2x+3$ 分别求导，而后再将其组合。
刚才我们一直在说 $y=x^8$ ，但实际上是 $y=（2x+3）^8$ ，所以直接写成 $y=x^8$ 不太好处理。为此我们另外准备了一个新字母u。假设u=2x+3，这样原来的算式可写成 $y=u^8$ 。
对函数关于以求导得到 $\frac{d y}{d u}=8 u^{7}$ ，对u=2x+3关于x求导得到 $\frac{d u}{d x}=2$ 。
突然用分数形式表示导数，还能记起来吗？这是莱布尼兹发明的表示方法。分母表示“关于什么求导”。
这样，两个“零件”就准备完毕，剩下的就是考虑如何组合。暂时先将组合好的零件放在一旁，我们先来看看原先的算式。
对 $y=(2 x+3)^{8}$ 关于x求导，可表示为 $\frac{d y}{d x}$ 。将3个导数算式排在一起就是 $\frac{d y}{d u}, \frac{d u}{d x}, \frac{d y}{d x}$ 。你发现了什么？
是的，通过象 $\frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x}$ 些可求得 $\frac{d y}{d x}$ （约掉分子和分母上的du）。代入 $y=(2 x+3)^{8}, y=u^{8}, u=2 x+3$ ，则得到 $\left\{(2 x+3)^{8}\right\}^{\prime}=8 u^{7} \times 2$
之后将置换的u代回原来的2x+3，就得到
$\left\{(2 x+3)^{8}\right\}^{\prime}=8(2 x+3)^{7} \times 2$
复合函数的求导方法，就是引入新字母，使得原函数被分解成了两个函数的复合函数，对每个算式分别求导后，再将其组合。这个方法最重要的思路就是：
$\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x}$
作为分数运算，这种处理理所当然，但能将该方法用于表示导数关系实在是聪明。莱布尼兹真是厉害呀！
将上面的 $8（2x+3）^7$ 展开，得到的结果与将原式展开后求导的结果完全相同。虽然有些费事，不过还是请你试着做一下。