线代（五）：相似矩阵及二次型

向量的内积、长度及正交性

施瓦茨（Schwarz）不等式:

• 若 维向量 是一组两两正交的非零向量，则 线性无关.

设 维向量 是向量空间 的一个基，如果 两两正交，且都是单位向量，则称 是 的一个标准正交基。

用施密特（Schmidt）正交化办法把标准正交化：

如果 阶矩阵 满足（即 ），那么称 为正交矩阵，简称正交阵.方阵 为正交矩阵的充分必要条件是 的列向量都是单位向量，且两两正交。

• 若 为正交矩阵，则 也是正交矩阵，=1 或（-1）
• 若 和 都是正交矩阵，则 也是正交矩阵

若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换

• 正交变换线段长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这是正交变换的优
  良特性.

方阵的特征值与特征向量

设 是阶矩阵，如果数和维非零列向量使关系式:成立，那么，这样的数称为矩阵的特征值，非零向量称为的对应于特征值的特征向量.

• 设 是方阵 的 个特征值, 依次是与之对应的特征向量，如果各不相等，则线性无关.设 和 是方阵 的两不同特征值， 和分别是对应于 和 的线性无关的特征向量，则线性无关

相 似 矩 阵

设 都是 阶矩阵，若有可逆矩阵 ，使，则称 是 的相似矩阵，或说矩阵 与 相似.对 A 进行运算 称为对进行相似变换，可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵.

• 若 阶矩阵 与 相似，则 与 的特征多项式相同，从而 与 的特征值亦相同. 若 阶矩阵 与对角矩阵:相似，则即是 的 个特征值
• 阶矩阵 与对角矩阵相似（即 能对角化）的充分必要条件是有 个线性无关的特征向量. 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则 与对角矩阵相似。
  

对称矩阵的对角化

• 对称矩阵的特征值为实数.
• 设 是对称矩阵 的两个特征值, 是对应的特征向量.若,则 与 正交.
• 设 为 阶对称矩阵，则必有正交矩阵，使，其中是以 的 个特征值为对角元的对角矩阵. 设 为 阶对称矩阵，是 的特征方程的重根，则矩阵 的秩=,从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量.
  

二次型及其标准形

只含平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式）：
如果标准形的系数只在1，-1，0三个数中取值,则称为二次型的规范形
当为复数时，称为复二次型；当为实数时，称为实二次型

设 和 是 阶矩阵，若有可逆矩阵 ，使，则称矩阵与 合同.

• 任给二次型,总有正交变换，使 化为标准形:,其中是的矩阵的特征值 任给 元二次 型 ,总有可逆变换 ，使为规范形
  

用配方法化二次型成标准形

正定二次型

设二次型 的秩为，且有两个可逆变换: 及 使及,则 中正数的个数与 中正数的个数相等

二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数

设二次 型　，如果对任何，都有 显然，则称为正定二次型，并称对称矩阵 是正定的；如果对任何都有，则称为负定二次型,并称对称矩阵A 是负定的.

• 元二次型为正定的充分必要条件是：它的标准形的 个系数全为正，即它的规范形的 个系数全为 1，亦即它的正惯性指数等于 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正
• 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式都为正
• 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正