中考压轴题思想方法基础训练专题讲座

（一）等腰三角形

在△ABC中，AB=AC   <=>   ∠ABC=∠ACB 

AB=AC，延长BA到D   <=>   ∠DAC=2∠ABC=2∠ACB

在几何问题中，出现了两条具有公共端点的相等线段时，就可以应用或添加等腰三角形的基本图形进行证明，当图形中只有两条腰而没有底边时，就应将等腰三角形的底边添上。

例1.已知：AB=AC，∠ABD=∠ACD，连结AD，

求证：∠ADB=∠ADC

分析：由于条件给出AB=AC，观察图形，可以发现这是两条具有公共端点A的相等线段，所以它们可以组成一个等腰三角形的基本图形，

但这个等腰三角形只有两条腰而没有底边，所以应将底边添上，也就是联结BC，于是就可推得∠ABC=∠ACB，又因为条件给出∠ABD=∠ACD，所以就可得∠DBC=∠DCB，从而又可发现△DBC也是等腰三角形，所以又可推得DB=DC，由于现在已经有AB=AC，DB=DC，这两组相等线段是关于AD成轴对称的，所以可应用轴对称型全等三角形的基本图形进行证明，根据图形的轴对称部分，就能找到这对全等三角形应是△ABD△ACD，

全等的条件是AB=AC，DB=DC和AD=AD(公共边)，所以∠ADB=∠ADC就可以证明。

例2，已知：△ABC中，∠ABC=2∠ACB，AD是∠BAC的角平分线，

求证：AC=AB+BD

分析一：

本题要证明AC=AB+BD，出现的是线段之间的和差关系，所以就要想到应用线段和差关系的定义来

进行分析，方法是将相加的两条线段接到一起后证明与和线段相等；或者是在和线段截取相加线段中的一条，证明留下来的一段与另一条线段相等，

如果首先选取将AB、BD这两条线段接起来，并选取将BD接到AB上，也就是延长AB到E，使BE=BD，那么问题就成为要证明AE=AC，但在作出了BE=BD后，就出现了这是两条具有公共端点B的相等线段，所以它们可组成一个等腰三角形，现在这个等腰三角形只有两条腰而没有底边，所以就要将底边ED添上，于是联结ED，又因为E、B、A成一直线，出现了∠ABD是这个等腰三角形的顶角的外角，所以可得∠ABD=2∠BED，而已知∠ABD=2∠ACB，从而就可得∠BED=∠ACB，而条件中已给出∠EAD=∠CAD，就出现了这两个相等的角和要证明相等的两条线段AE、AC是关于AD成轴对称的，从而就可应用轴对称型全等三角形进行证明，根据图形的轴对称部分，就可以找到这对全等三角形应是△AED和△ACD，在这两个三角形中，有∠EAD=∠CAD，∠AED=∠ACD，AD＝AD，当然全等，那么AE=AC也就可以证明。

分析二：如果在根据线段和差关系的定义来进行分析时，选取将AB接到BD上，也就是延长DB到E，使EB=BA，这样就有ED=

AB+BD，问题也就成为要证AC=ED，但在作出了EB=BA以后，就出现了这是两条具有公共端点B的相等线段，所以它们可以组成

一个等腰三角形，但这个等腰三角形只有两条腰而没有底边，所以应将底边AE添上，于是联结AE，又因为E、B、C成一直线，应用等腰三角形的

基本图形的性质就有∠ABC=2∠AEC，而已知∠ABC=2∠ACB，所以∠AEC=∠ACE，而这两个角相等一出现，就得到△AEC也是等腰

三角形，也就是AE=AC，那么问题就成为要证ED=EA，这又是两条具有公共端点E的相等线段，它们又可以组成一个等腰三角形，问题也就成为一个等腰三角形的判定问题，这样问题就成为应证ED=EA的等价性质∠EAD=∠EDA，而由E、D、C成一直线，可知∠EDA是△ADC的一个外角，所以有∠EDA=∠ACD+∠CAD，而∠DAE又等于∠EAB+∠BAD，且已知∠CAD=∠BAD，所以问题就成要证∠BAE=∠ACD，但因这两个角都和∠AEC相等，所以分析即可完成。

分析三：如果在根据线段和差关系的定义来进行分析时，选取根据线段差的定义来进行分析，那就是在和线段AC上截取AE=AB，问题就成为

要证EC=BD，而在作出了AE=AB后，由于条件中已给出∠EAD=∠CAD，就出现了这两个相等的角和两条相等的线段AE、AB是关于AD成轴对称的，从而可添加轴对称型全等三角形进行证明，添加的方法是将△BAD沿对称轴AD翻折过去，这时点B就应落在点E上，所以联结DE，

于是由AE=AB，∠EAD=∠BAD和AD=AD，即可推得△EAD≌△BAD，ED=BD，那么问题也就成为要证ED=EC，

但这又是两条具有公共端点E的相等线段，所以它们可组成一个等腰三角形，问题就成为一个等腰三角形的判定问题，而由C、E、A成一直线，

所以问题成为应证∠AED=2∠ACD，而由∠AED=∠ABD和已知∠ABC=2∠ACB，就可以证明上述性质。

小结：

本讲介绍的是等腰三角形这个基本图形的性质，着重论述等腰三角形的应用条件和应用方法，就是：

在几何问题中，出现了两条具有公共端点的相等线段时，就可以应用或添加等腰三角形的基本图形进行证明，当图形中只有两条腰而没有底边时，就应将等腰三角形的底边添上，在出现等腰三角形的顶角的外角时，就要想到这个顶角的外角应是底角的2倍。

练习题：

    已知：△ABC内接于⊙O，AB=BC=AC，D是弧BC上

的一点，联结DB、DA、DC，

求证：DA=DB+DC

中考压轴题思想方法基础训练专题讲座

（二）角平分线、平行线的组合得到的等腰三角形AD是∠BAC的角平分线，EF∥AC交AB、AD于E、F =>   EF=EA AD是∠BAC的角平分线，EF∥AD交AC于F，交BA的延长线于E   =>   AE=AF 角平分线和平行线的组合，一定得到等腰三角形，或者也就是角平分线、平行线和等腰三角形中，只要任意出现其中的两个，第三个性质就一定出现。当出现的是角的一边的平行线时，这条平行线就应和角的另一边以及角平分线相交组成等腰三角形，如果尚未相交的话，就应延长到相交。当出现的是角平分线的平行线时，这条平行线就应和角的一边以及另一边的反向延长线相交组成等腰三角形，如果尚未相交的话，就应延长到相交。

例1，已知：△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E是BC的中点，过E作EG∥DA交AB于F、交CA的延长线于G，

求证：BF=CG=AB+AC）

分析：本题条件中给出AD是∠BAC的角平分线，EG∥DA，就出现了角平分线和平行线的组合，所以就一定构成一个等腰三角形的基本图形，那

么应该到哪里去找这个等腰三角形呢？由于EG是角平分线AD的平行线，所以它应和角的一边AB和另一边AC的反向延长线相交构成等腰三角形，于是就可以得到△AFG是等腰三角形，AF=AG，这样结论中出现的CG就等于AC+AG=AC+AF，问题就成为应证BF=AC+AF，这是要证明一条线段等于两条线段的和，所以想到应用线段和的定义，将AC、AF这两条线段接起来将两条线段AC、AF接起来，就出现了两种可能性：将AF接在AC上和将AC接在AF上，然而将AF接到AC上，就出现了前一步是将AG折过来成为AF，而后一步又将AF折回去成为AG，退回到了原来的出发点，所以这一种情况就是不可取的，于是就应选取将将AC接在AF上，也就是延长FA到H，使AH=AC，问题就成为应证BF=AC+AF=AH+AF=FH，但在作出了AH=AC后，就出现了这是两条具有公共端点A的相等线段，所以它们可组成一个等腰三角形，而这个等腰三角形只有两条腰而没有底边，所以应将底边添上，也就是连结CH，就可得△ACH是等腰三角形，而条件给出AD是∠BAC的角平分线，所以又出

现了等腰三角形和角平分线的组合，所以就一定得到一组平行线，由于CH是与∠BAC的一边AC以及另一边AB的反向延长线相交，所以CH应和角平分线AD平行，也就是等腰三角形顶角的外角平分线一定平行底边，也就是AD∥HC，而已知EF∥DA，所以EF∥CH，这样，由条件E是BC的中点，出现了过线段的中点所作的三角形一边的平行线，所以想到应用三角形中位线的基本图形的性质，就可以证明BF=HF，

进一步也就可以证明BF=CG=AB+AC）.

本题的分析，最重要的部分实际上就是角平分线和平行线的组合得到等腰三角形的基本图形，而添加的方法是作平行线，由于平行线可以有多种不同的可能，所以本题的分析也会相应地出现多种可能，关键的问题就是搞清楚过什么点作谁的平行线，是作角的一边的平行线，还是作角平分线的平行线，然后就搞清楚和谁相交，到哪里去找等腰三角形，这几个问题搞清楚，则相应的分析方法也就呈现出来了。

例2，已知：正方形ABCD中，E是AD的中点，F是DE的中点，连结BE、BF．

求证：∠CBF=2∠ABE

分析一：本题要证明的结论∠CBF=2∠ABE是两个角之间的倍半关系，所以可根据角的倍半关系的定义来进行分析，这样就出现了两种可能，作出倍角的一半或者作出半角的两倍，如考虑选取作出倍角的一半，就是将这个倍角(∠CBF)二等分，也就是作出这个角的角平分线后，证明这个角的一半(∠CBG)与另一个角(∠ABE)相等，于是作∠CBF的角平分线BG交CD于G，问题就应证∠CBG=∠ABE，但在作出了BG是∠CBF的角平分线以后，由于条件中给出了四边形ABCD是正方形，AD∥BC，所以就出现了角平分线和平行线的组合关系，这样就必定得到一个等腰三角形的基本图形，由于现在出现的FD是角的一边BC的平行线，所以它应该与角的另一边BF以及角平分线BG相交组成等腰三角形，而目前图形中FD尚未与角平分线BG相交，所以应将它们延长到相交，也就是延长BG交FD的延长线于H，于是由∠CBG=∠FBG和由FH∥BC得到的∠CBG=∠DHG，

就可得∠FBH=∠FHB，FB=FH，由于要证明的性质是∠CBG=∠ABE，观察图形，可以发现要证明相等的这两个角∠CBG和∠ABE是位

于正方形ABCD的轴对称部分，所以想到要应用轴对称型全等三角形进行证明，根据图形的轴对称部分，就可以找到这对全等三角形应是△CBG和△ABE，在这两个三角形中，已经出现的条件是∠BCG=∠BAE=90°，BC和BA都是正方形ABCD的边长，当然相等，所以还要证明一个条件，由于条件中还给出了E是AD的中点，AE=AD，是与AE有关的性质，所以第三个条件应证AE和它的对应边CG想等，也就是要证CG也是正方形边长的一半，也就是要证G是CD的中点，DG=CG，由于CD、BH相交于G，所以要证明相等的这两条线段DG和CG就位于一组对顶角∠BGC和∠HGD的两边且成一直线，从而就可以应用中心对称型的全等三角形进行证明，

根据过两端点C、D的两条平行线与过中点G的直线相交构成中心对称型全等三角形的方法，就可以找到这对全等三角形应是△BGC和△HGD，

在这两个三角形中，对应角相等的性质都已成立，所以还须证明一组对应边相等，由于BC是正方形的边长，所以就应证明BC=HD，也就是要证

明HD也等于正方形的边长，由条件DF=AD，从而应证FH=AD，由于已经证明FH=FB，所以问题就成为应证FB=AD，由于AF=AD，AB=AD，∠BAF=90°，所以△BFA是一个“345直角三角形”，所以应用勾股定理就可以证明FB=AD，分析

就可以完成。

分析二：如考虑选取作半角∠ABE的2倍，也就是作∠ABG=∠ABE后，应证∠EBG和∠CBF相等，由于在作出∠ABG=∠ABE，也就是BA是∠EBG的

角平分线后，已知EA⊥AB，就出现了EA是向角平分线BA所作的垂线，所以一定得到一个等腰三角形中重要线段的基本图形，

这个等腰三角形是由角平分线的垂线和角的两边相交得到的，现在EA尚未与角的一边BG相交，所以应将它们延长到相交，也就是延长EA交BG于G，就可得△ABG≌△ABE，所以BG=BE，∠BGE=∠BEG，

现在的问题是要证明∠EBG=∠CBF，由条件FD∥BC，这两条平行线可以看作是被BF所截，∠CBF和∠BFD是一组同旁内角，所以可应用与同旁内角有关的平行线的基本图形的性质进行证明，所以∠CBF+∠BFD=180°，由于在△BEG中，∠EBG+∠BGE+∠BEG=180°，∠EBG+2∠BGE=180°，从而问题又转化为要证∠BFD=2∠BGE，这又是两个角之间的倍半关系，所以可根据角的倍半关系的定义，将倍角∠BFD两等分，也就是作∠BFD的角平分线FH交BC的延长线于H，问题就成为应证∠DFH=∠BGE，而这两个角可以看作是FH，GB被GD所截得到的同位角，所以可应用与同位角有关的平行线的基本图形的性质进行证明，所以问题成为应证GB∥FH，但已知GF∥BH，所以四边形GBHF应是平行四边形，从而就要证明GF和BH不但平行，而且相等，因为GF=AG+AE+EF=2AE+EF=AD，于是就要证BH也等于AD，由∠DFH=∠BFH和FD∥BH，就出现了角平分线

与平行线的组合关系，所以一定得到一个等腰三角形的基本图形，由于BH是角的一边FD的平行线，所以它应和角的另一边FB以及角平分线FH相交组成等腰三角形，所以由∠DFH=∠BFH，∠DFH=∠BHF，就可推得∠BHF=∠BFH，BH=BF，所以问题成为应证BF=AD，

在△BFA中，由AB=AD，∠BAF=90º，AF=AD，就可证明BF=AD，分析就可以完成。

小结：

几何问题的辅助线是随着分析过程的进行，一步一步分析，一步一步添加出来的，每一条辅助线都是有道理的。几何问题的辅助线要随着分析过程的进行，分析到哪里添到哪里，既不能少，少了不能完成分析，也不能多，多了的话，多出来的部分就是讲不清楚道理的。

练习题：

已知：正方形ABCD中，延长AD到E，DE=DA，联结BD、CE，延长AD到F，DF=DB，BF、CD相交于G，BF、CE相交于H，

求证：GH=FH