2018-01-11

(3)数兀

    在一个单位园上，我们作内接正n边形，记pn为边长，作外切正n边形，记边长为qn，那么pn＜2兀＜qn，当n增加时，序列pn、qn都单调趋近2兀

  关于数兀的近似值求法有很多方法，有阿基米德方法(几何方法)（公元前3世纪)、有中国古代数学家刘徽在注释《九章算术》(公元前263年)时，只用圆内接正多边形就求得兀的近似值，也得精确到两位小数的兀值，他的方法被后人称为割圆术，他用割圆术一直算到圆内接192边形。南北朝时代数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的兀值。

  圆周率兀的计算方法是一个饶有趣味、值得探讨的问题．首先要对正多边形进行了解，我们从正十边形开始．假设在单位圆内有一内接正十边形(图略)．设边长AB＝x，AB所对的圆心角𠃋AOB＝36度，则𠃋OAB＝𠃋OBA＝72度，作𠃋OAB的平分线交OB于C点，则𠃋CAB＝36度，𠃋OAC＝36度，所以OC＝AC＝AB＝x，易证三角形AOB与三角形ACB相似，所以1/x＝x/(1－x)，即x𠆢2＋x－1＝0，它的解是x＝1/2(根5－1)（x＞0）约等于0．618（0．618称单位线段的黄金分割点)．希腊数学家认为矩形的两个边的比值a：b＝0．618，从审美角度来看是最好的。长度x我们通过作一个直角边分别为1和2的三角形，其斜边等于根5，把这个斜边减去一个单位长再二等分，即可得到正十边形的边长，很简单我们就能作出正十边形丶正五边形。而正六边形是最简单得到的，因为它的边长正好是单位圆的半径，因此可以作出正：4、8、16、⋯、2𠆢n边形；正：12、24、48边形等，还有正：20、40边形等．下面我们用单位圆内接正n边形的几何性质来求出兀的计算方法。如图(图略)：在单位圆中DE表示内接于单位圆中的正n边形边长Sn，由简单的几何知识可知AB是单位圆的直径等于2，B是DE弧的中点，所以DB就是内接单位圆中正2n边形的边长S2n．在直角三角形ABD中，AD·DB＝AB·DC，那么AD＝2DC/DB＝DE/DB＝Sn/S2n，又AD𠆢2＝AB𠆢2－DB𠆢2＝4－S2n𠆢2，所以(S2n𠆢2)𠆢2－4S2n𠆢2＋Sn𠆢2＝0，令x＝S2n𠆢2(0＜x＜2)，解上述二次方程得S2n＝根下(2－根下(4－Sn𠆢2)），所以我们得出了正2n边形边长的递推公式，现在由正四边形的等于根2可得S8＝根下(2－根2)；S16＝根下(2－根下(2＋根2)）；S32＝根下(2－根下(2＋根下(2＋根2)）．对于n＞2，我们得到一般公式：

        S2𠆢n＝根下(2－根下(2＋根下(2＋⋯＋根2)），它有(n－1)个平方根号．圆中正2𠆢n边形的周长是2𠆢n·S2𠆢n，当n趋于无穷大时，2𠆢n·S2𠆢n趋近于圆的周长．按单位圆周长定义为2兀，我们用m代替(n－1)，则：

  兀＝lim(2𠆢m·根下(2－根下(2＋根下(2＋⋯＋根2)），(共有m个根号)

数兀是什么？由不等式pn＜2兀＜qn作出的一个退缩于点2兀的区间套序列，对此给出了完整的回答：兀是一个无理数，与e的无理性证明相比，兀的无理性证明是比较困难的。