阅读本文前，建议查阅相关资料，了解 KNN 算法与 KD 树。
基础知识
如图所示，假设一个点 a 目前的最近邻点为 b，如果存在相对于 b 离 a 更近的点，那么这个点一定在以 a 为圆心，ab 为半径的圆内。
现右侧的区域是未知的，如果 a 到分界线的距离 l 大于目前的最近距离 L（圆半径），则没有必要在右侧的未知区域继续寻找最近邻点（如图一），反之，则要继续寻找（如图二）。
相应的，投射到多维空间，假如切分边界为第 i 维，切分点的值为 v（标量），当前最近邻点为 y（向量），如果目标点 x（向量） 到切分边界的距离 |x[i] - v| 满足以下关系
时，需要在另一侧继续搜索。
图1：不需要在右侧未知区域继续搜索的情况
图2：需要在右侧未知区域继续搜索的情况
通常地，一个机器学习算法分为
fit 和 predict 两个阶段，基于线性搜索的 KNN 是一种惰性算法，它将全部的计算任务放到了 predict 阶段，predict 的时间复杂度为 O(n)，KD 树之所以比线性搜索快，就是因为它将一部分任务放到了 fit（建立 KD 树） 阶段，从而在搜索时可以略去大量不必搜索的结点（最优情况下时间复杂度为 O(1)）。上面说的比较简单，关于 KNN 算法和 KD 树的详细内容，请参考李航博士的《统计学习方法》。
代码
我们给出部分关键性的代码。
基本数据结构
- 训练集用一个一维数组
double *data表示，它的长度为n_samples * n_features，标签集也用一个一维数组double *labels表示，它的长度为n_samples。 - 树的结点用以下数据结构表示
struct tree_node { size_t id; // 表示训练集中的第 i 个数据 size_t split; // 切分的维度 tree_node *left, *right; // 左、右子树 }; - 一个 KD 树的模型可用以下结构表示
struct tree_model { tree_node *root; // 根结点 const double *datas; // X const double *labels; // y size_t n_samples; // 样例数 size_t n_features; // 每个样例的特征数 double p; // 距离度量 }; - 求 K-近邻时需要用到大顶堆，我们直接用 C++ 的优先队列来表示，堆内现有的
n(n <= k)个近邻点中，距离测试点最远的在堆顶struct neighbor_heap_cmp { bool operator()(const std::tuple<size_t, double> &i, const std::tuple<size_t, double> &j) { return std::get<1>(i) < std::get<1>(j); } }; typedef std::tuple<size_t, double> neighbor; typedef std::priority_queue<neighbor, std::vector<neighbor>, neighbor_heap_cmp> neighbor_heap_; neighbor_heap k_neighbor_heap_;
KD-Tree 类
我们用类 KDTree 表示一个 KD 树类，它应该具有的功能有建树和搜索。
//（简化的代码，完整的代码详见最后）
class KDTree {
public:
// 建树
KDTree(const double *datas, const double *labels, size_t rows, size_t cols, double p)
// 返回树
tree_node *GetRoot() { return root; }
// 求一个测试点的 k 邻
std::vector<std::tuple<size_t, double>> FindKNearests(const double *coor, size_t k);
private:
tree_node *root_;
}
寻找切分维和切分点
在建树之前，我们还要考虑如何选择切分维度和切分点。切分维度的选择有许多，一般的，可以取 dim = floor % n_features，即当前树的层数对特征数取余，我们在这里使用 dim = argmax(nmax - nmin)，即选取当前结点集合中极差最大的维度。
（这里是不完整的代码，有些工具函数的定义请详见完整源代码）
size_t KDTree::FindSplitDim(const std::vector<size_t> &points) {
if (points.size() == 1)
return 0;
size_t cur_best_dim = 0;
double cur_largest_spread = -1;
double cur_min_val;
double cur_max_val;
for (size_t dim = 0; dim < n_features; ++dim) {
cur_min_val = GetDimVal(points[0], dim);
cur_max_val = GetDimVal(points[0], dim);
for (const auto &id : points) {
if (GetDimVal(id, dim) > cur_max_val)
cur_max_val = GetDimVal(id, dim);
else if (GetDimVal(id, dim) < cur_min_val)
cur_min_val = GetDimVal(id, dim);
}
if (cur_max_val - cur_min_val > cur_largest_spread) {
cur_largest_spread = cur_max_val - cur_min_val;
cur_best_dim = dim;
}
}
return cur_best_dim;
}
选择完切分维 k 之后，我们需选取当前结点集合中的结点在第 k 维的值的中位数 x 作为切分点的值，除去该点之外的点，第 k 维的值小于等于 x 的，放入左子树，反之放入右子树。
在求中位数时，不要全排序，然后取中间的点，可以采用类似快排的方法，找到中位数时就停止排序，这里我们就不写算法了，直接用 C++ 的函数。
std::tuple<size_t, double> KDTree::MidElement(const std::vector<size_t> &points, size_t dim) {
size_t len = points.size();
for (size_t i = 0; i < points.size(); ++i)
get_mid_buf_[i] = std::make_tuple(points[i], GetDimVal(points[i], dim));
std::nth_element(get_mid_buf_,
get_mid_buf_ + len / 2,
get_mid_buf_ + len,
[](const std::tuple<size_t, double> &i, const std::tuple<size_t, double> &j) {
return std::get<1>(i) < std::get<1>(j);
});
return get_mid_buf_[len / 2];
}
建树
建树直接按照建立二叉树的方法即可
tree_node *KDTree::BuildTree(const std::vector<size_t> &points) {
size_t dim = FindSplitDim(points);
std::tuple<size_t, double> t = MidElement(points, dim);
size_t arg_mid_val = std::get<0>(t);
double mid_val = std::get<1>(t);
tree_node *node = Malloc(tree_node, 1);
node->left = nullptr;
node->right = nullptr;
node->id = arg_mid_val;
node->split = dim;
std::vector<size_t> left, right;
for (auto &i : points) {
if (i == arg_mid_val)
continue;
if (GetDimVal(i, dim) <= mid_val)
left.emplace_back(i);
else
right.emplace_back(i);
}
if (!left.empty())
node->left = BuildTree(left);
if (!right.empty())
node->right = BuildTree(right);
return node;
}
搜索 K-近邻的规则
一般书上所讲的都是搜索最近邻，但是我们这里是搜索 K-近邻，需要对书上的算法做少许的扩充。
搜索最近邻时，我们一般设置两个变量 cur_min_id 和 cur_min_dist，如果当前搜索到的点到测试点的距离 l < cur_min_dist 时，我们将上述两个变量更新为新点的 id 和 dist。
相应的，在搜索 K-近邻时，我们可以设置一个最多有 k 个元素的大顶堆，这样，在搜索时，当堆满时，只需比较当前搜索点的 dist 是否小于堆顶点的 dist，如果小于，堆顶出堆，并将当前搜索点压入，反之，则不变；当堆未满时，直接将该搜索点压入。
搜索 K-近邻的算法
我们直接使用二叉树深度优先遍历的非递归算法（具体的描述详见《统计学习方法》第 43 页算法 3.3）。
std::vector<std::tuple<size_t, double>> KDTree::FindKNearests(const double *coor, size_t k) {
std::memset(visited_buf_, 0, sizeof(bool) * n_samples);
std::stack<tree_node *> paths;
tree_node *p = root;
while (p) {
HeapStackPush(paths, p, coor, k);
p = coor[p->split] <= GetDimVal(p->id, p->split) ? p = p->left : p = p->right;
}
while (!paths.empty()) {
p = paths.top();
paths.pop();
if (!p->left && !p->right)
continue;
if (k_neighbor_heap_.size() < k) {
if (p->left)
HeapStackPush(paths, p->left, coor, k);
if (p->right)
HeapStackPush(paths, p->right, coor, k);
} else {
double node_split_val = GetDimVal(p->id, p->split);
double coor_split_val = coor[p->split];
double heap_top_val = std::get<1>(k_neighbor_heap_.top());
if (coor_split_val > node_split_val) {
if (p->right)
HeapStackPush(paths, p->right, coor, k);
if ((coor_split_val - node_split_val) < heap_top_val && p->left)
HeapStackPush(paths, p->left, coor, k);
} else {
if (p->left)
HeapStackPush(paths, p->left, coor, k);
if ((node_split_val - coor_split_val) < heap_top_val && p->right)
HeapStackPush(paths, p->right, coor, k);
}
}
}
std::vector<std::tuple<size_t, double>> res;
while (!k_neighbor_heap_.empty()) {
res.emplace_back(k_neighbor_heap_.top());
k_neighbor_heap_.pop();
}
return res;
}
完整代码
详见 https://github.com/WiseDoge/libkdtree
完整代码中除了 KD-Tree 的代码外，还给出了测试代码和 Python 接口代码，以及一些调用第三方库来加速的手段。
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