高数——中值定理

作者: 粉刷乌鸦 | 来源:发表于2020-03-12 10:53 被阅读0次

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罗尔定理

设函数满足：① 闭区间连续；②开区间可导；③端点函数值相同，则区间内存在一点，这点对应函数的导数值为0。

拉格朗日中值定理

设函数满足：①闭区间连续；②开区间可导，则区间内存在一点使得 $f ^ { \prime } ( \xi ) = \frac { f ( b ) - f ( a ) } { b - a }$

几何意义：至少存在一点的切线和端点连线平行

物理意义：至少存在一点的速度和平均速度相等

应用：区间测速

柯西中值定理

设函数f(x),g(x)满足：①闭区间连续；②开区间可导；③区间内g(x)导数不为零，则 $\exists \xi \in ( a , b )$ ，使得 $\frac { f ( b ) - f ( a ) } { g ( b ) - g ( a ) } = \frac { f ^ { \prime } ( \xi ) } { g ^ { \prime } ( \xi ) }$

罗尔定理是拉格朗日的特例（端点函数值相同）；

柯西中值定理是拉格朗日的推广（令g(x)=x)。

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