逻辑会把你从A带到B，想象力能带你去任何地方。---- 爱因斯坦
想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象概括着宇宙的一切，推动着社会进步，并且是知识进化的源泉。严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。----爱因斯坦
数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥。----数学家德摩根
什么是想象
内容自己看，见想象https://baike.baidu.com/item/%E6%83%B3%E8%B1%A1/5134
想象的认识功能与解题功能
想象是一种思维形式，和逻辑思维相比，它是自由的灵活的，而逻辑思维偏于循规蹈矩、定向、模式固化。
在人类许多领域中，都有想象思维的身影，例如在文学艺术的创作与欣赏中，在哲学研究中、在科学研究中、在日常生活中。通过想象，可以不受时空和现实的制约，打破逻辑思维僵化的藩篱，扩展人类的认识。
想象在数学思维中是非常重要的创造性思维活动，合情合理地猜想、设想、构想，也就是通过想象，化隐为显，可以直接把需要的事物想象出来，把数学模式想出来，而不是靠逻辑推理出来，这些隐藏的或不存在的或难以到达的事物单凭逻辑推理是难以发现、发明、到达的。
如下图，在沙漠中的一条公路，逻辑之车只能沿着公路到达A、B、C、D，到不了E和F，而一些非逻辑思维如想象、直觉、灵感、联想、类比等却可以带我们到这些地方(E、F)，我们寻觅的东西可能就位于E或F处。
初中数学中对多项式进行因式分解时，有时就会运用想象，合情合理地设想或预见多项式为多个因式相乘的结构形式，再结合待定系数法确定这些因式的系数。
想象(严格来说是非逻辑思维)与逻辑推理在一定程度上互补(结合)，弥补了逻辑思维在创造性、超现实性方面的先天不足&局限性，体现了想象的“补充作用、预见作用、代替作用”。
我们的数学教育界提到想象，口头上和书籍中言必称“直观想象”，他们关于想象的内容，全都是“直观想象”，也就是把“想象”等同于“直观想象”，还把“直观想象”作为数学的核心素养之一。只有“直观想象”是错误的，数学中的想象不是只有“直观想象”，还有很大一部分是和图形图像无关的非直观想象。
数学既锻炼逻辑思维能力，更锻炼非逻辑思维能力。数学思维高人的思维水平和功底体现在非逻辑思维方面，例如想象、直觉、联想、类比等，而不是逻辑思维。锻炼逻辑思维能力实在不难，难在非逻辑思维。
数学知识(主要是陈述性知识)和数学思维是两码事，绝大多数数学知识不难掌握，难在领悟通透系统的数学思维之道。掌握的数学知识不多，但数学思维能力强是可能的。而掌握很多数学知识，并不意味着数学思维能力就强，它们很大程度不成正比，掌握很多数学知识的人不少，但领悟通透系统的数学思维之道的人极少。专业玩数学的人很多不一定如广大吃瓜群众想象的那么聪明(思维能力强),他们主要就是掌握的数学知识多, 执着勤奋，浸淫数学多年，看的数学书多，做的题多，研究时间长，手熟尔。而即便一个高中生，如何他真正领悟了通透系统的数学思维之道，那他的数学思维能力就比绝大多数数学博士、教授要强，虽然他掌握的数学知识不如后者多。
想象与合情合理设想&推理解题实践
合情合理的设想&猜想&推理是一种数学思想方法。利用待定系数法进行因式分解时先要合情合理地设想出多个因式相乘的结构模式，接下来确定其中的待定系数。有时在待定系数数量较多，且系数方程次数超过一次时，还要合情合理地对部分系数赋予特殊值代入系数方程，尝试求出其它系数，例如6个系数中有两个系数b1、b2，它们的乘积b1*b2=2,此时可以优先合情设想特殊值对(1,2)、(-1,-2)代入系数方程。
前面的文章也讲过这种思想，例如用于不等式解题等。这里再用一道初中几何题来进一步阐释，这题是在头条一位老师"初高数学微课"那里看到的。题目如下图，第3问求最小值，前两问跳过不管。
看到第3问的图3，感觉和胡不归、阿氏圆、将军饮马似曾相识，但由于D、G都是动点，所以一对比可以判断都不是这些，或者说只是形似，谈不上神似,也就是在本质上是不同的。另外瓜豆题型也不适用。
对这种类型的题，我读初高中时没碰到过，高中毕业后几十年不玩数学，不在教育和培训行业，只是最近两三年开始由于某种原因在业余时间玩下初高中数学题，也不看数学书，就凭初高中自学数学时领悟的数学思维方法论来破解数学题。
此时碰到这题，我仍是借助于领悟的数学思维方法论，从方法论这个工具箱中搬出一些思维方法和思想方法来指导我探索解题方法，探索解题突破口，因为这些思维方法和思想方法可以指导我怎么想(思维的形式)和想什么(想的内容，或对内容对各种数学对象做些什么操作，做些什么变换和变化)，例如"合情合理的设想"这种数学思想就提醒我要这样想(想的内容)：要设想出某种模式，在这道题中就指导我设想出最小值模式、某个定点到G点的距离恒等于根号5/5*DG这个关系模式。“类比思维”也指导我这样想：和将军饮马类似的最小值模式。
我的第一种原创方法是运用类比思维和如下数学思想方法：模式思想、物化思想、合情合理的设想，其中隐含有转化思想和构造思想。
借用或类比将军饮马的形似，合情合理地设想最小值模式：在BC下方存在定点E，且对在BC线段上任意的G点，恒有成立。此时显然所求的最小值就是AE(A、G、E三点共线)。设想的最小值模式如下图。
合情合理地设想最小值模式
物化思想先前也讲过，就是化虚为实，将虚的事物、概念、关系等实物化(实体化)、对象化。此处就是将虚的化为实实在在的GE对象。
下面求定点E，确定它是否存在，合情合理的设想和推理具有或然性，有可能并不成立，不像逻辑推理在它的框架下具有必然性确定性。
在探索这个解题方法的过程中，我们运用了联想思维、类比思维和比较判断，运用了如下数学思想方法：模式思想、物化思想、合情合理的设想&假设法、构造思想。也就是通过做这道题，熏陶和锻炼了我们的这些思维方法和思想方法。
题外，求出定点E后，易知角BEC为135度。
第二种原创方法就是直接用解析几何坐标法，以B为原点，BC和BA为X、Y轴建立直角坐标系。
设BG为x,可直接求出的代数式，否定之否定，再根据代数式的几何意义，得到对应的几何图形，使用数形结合思想，如下图。
由勾股或两点间距离公式可求出最小值为AE=16，故所求最小值为16。
方法一和方法二找的定点是相同的，这两种方法找定点其实是一正一反。
第三种方法是这位老师的方法，很好的纯几何法，最终也是找到一个定点。由于未向这位老师申请在我文章中公开该方法的许可，就不介绍了，望理解。
你为什么想不到？
在解决问题的思维过程中，在对问题已经有清晰了解的情况下，你为何想不到(解决方案)？也就是为何出现思维障碍？
原因是多方面的，综合的，例如：
可能是由于知识贮备不够，不熟悉或没学过与问题有关的知识，巧妇难为无米之炊；
有可能是时间太短，来不及深入思考；
有可能是身体或情绪原因；
有可能是外界环境因素。
排除上面这些原因，在数学解题思维过程中，很多时候“想不到”不是没掌握好数学知识，而是思维能力差，所学知识难以转化成解题能力。碰到问题时不知道怎么想，不知道想什么，看问题没有正确的眼光，不知道做些什么，不知道怎么变，找不到合适的思维起点和思维方向，找不到问题突破口。
怎么熏陶和锻炼思维能力？首先要明白思维方法和思想方法的作用和价值是什么，第二是学习悟道高人(领悟了数学思维之道的人)的解题思维过程，多回味他的思维之道。第三是在解题实践中有意识运用思维之道，在解题思维过程中体验到思维方法和思想方法的作用。第四是总结反思，形成自己的思维方法论体系。
通过第两种方法，我们应该能进一步体会到思维方法和思想方法的最直接的作用和价值，它们好比是有灵性的有智慧的智囊团，也就是它们可以指导和启发你在解题时：怎么想（思维形式）？想什么(思维的内容）？怎么看(看问题的眼光、观点和视角方向）？做些什么？怎么做？策略有哪些？在它们的引导下就容易发现解题突破口，容易探索发现解题方法，所以它们也是解题方法之母，产生解题方法的，如果不领悟它们，就不容易找到解题方法，也就是难产，不知母焉知子？
数学知识相对而言几乎都是僵死的，没有智能和灵性的，当然在破题阶段也需要数学知识的配合参与，但它们在此时一般不唱主角，而是充当卖苦力(体力)的被动角色，等待被激活利用和调动差遣。
初高中和大学阶段的数学难，其实主要在难以领悟数学思维，很多人虽然掌握了许多数学知识，但思想空洞，思维僵化，或思维层次不高，碰到有些难度的数学问题，不知道怎么想，不知道想什么，想不到，这就是数学难的主要表现。相对而言数学知识大多数都不算难，其实很多数学知识通过自学就能掌握，不需要依赖数学老师。
形式与内容是辩证法的一对矛盾概念，对立又统一。各种思维方法主要决定了你的思维形式，例如类比思维就启发引导你进行类比，它也对指导你想些什么(你的思维内容)起到指导启发作用；而各种思想方法主要指导启发你的思维内容(碰到问题时想些什么，想的内容)和对内容的各种操作和变换(对数学题和题中的数学对象、想到的内容做些什么，例如进行平方，进行旋转变换，进行加减等操作和变化)。
知识的性质是僵死的，思维的性质是灵性的智能的，要靠通透的系统的思维方法论给力。
网友评论