阿波罗尼斯圆和圆锥曲线

昨天，一个朋友的儿子参加了上海交大附中的初升高自招考试，这位朋友在我们的“伪鸡娃家长”群里贴出了这次考试的数学学科拓展题，其中有一道几何题如下图所示。

坦率地说，这道题目不是特别难；但对于初三的学生来说，要在很短的时间内做出来也绝非易事——拓展题一共两道大题，要求在20分钟内完成，上图为第2题的第1问。我今天拿这道题考了考在薯条国读书的女儿，她花了近20分钟，画了一个辅助圆，利用对称、全等、直径和弦的关系勉勉强强完成了证明。

解这道题的一般思路，可以利用直角三角形的射影定理和勾股定理，这两个定理应该在初中数学的范畴之内。我们从M点向AD做垂线，交AD于N，并连接MD、MB，因为BD为直径，易知三角形BMD为直角三角形。

设|BN| = x，根据射影定理，|MN|² = |BN|∙|DN| = x(4 - x) = 4x - x²。

根据勾股定理，|MA|² = |MN|² + |AN|² = 4x - x² + (2 + x)² = 4 + 8x。

同样根据勾股定理，|MC|² = |MN|² + |CN|² = 4x - x² + (1 - x)² = 1 + 2x。

因此，|MA|² : |MC|² = 4，|MA| : |MC| = 2。M点在C点右侧的情况推导类似，在此省略。

如果学过三角函数，那么证明会更加直接、简单一些。在圆心O上建立直角坐标系，那么A和C的坐标分别为(-4, 0)和(-1, 0)。设OD到MO之间的有向夹角为α，那么M点的坐标为(2cosα, 2sinα)。

因此，|MA|² = (2cosα + 4)² + (2sinα)² = 20 + 16cosα，|MC|² = (2cosα + 1)² + (2sinα)² = 5 + 4cosα，所以，|MA|² : |MC|² = 4，|MA| : |MC| = 2，得证。

这道题更有意思的点，在于这个圆最早是由一位古希腊数学家所发现的，这个圆就以这位数学家的名字命名，即阿波罗尼斯圆。

阿波罗尼斯，或者叫佩尔盖的阿波罗尼斯（Apollonius of Perga）是和欧几里德、阿基米德齐名的数学家。和浴缸里的阿基米德、金字塔前的欧几里德相比，阿波罗尼斯的名气可能稍微小一些，但他毕生致力于圆锥曲线或二次曲线的研究，他在圆锥曲线上的研究成果直到17世纪才被笛卡尔和帕斯卡所超越。

所谓圆锥曲线^【1】，就是当一个平面横切两个对顶放置的圆锥时，圆锥表面在该平面上留下的轨迹。从上图中可以看到，当平面和圆锥底面平行时，切出来的曲线为圆；当平面和圆锥底面形成一定角度、且平面和圆锥底面不相交时，切出来的曲线是椭圆。在平面和圆锥底面相交的情况下，如果平面和圆锥底面相垂直，那么切出来的曲线是双曲线；如果不垂直，那么切出来的曲线是抛物线。

平面上圆锥曲线的通式为一个二元二次方程，所以圆锥曲线又被称之为二次曲线，因为星体的运行轨迹大多为圆锥曲线，圆锥曲线在天文学上有着极其重大的意义，所以德国天文学家开普勒对阿波罗尼斯和他的著作《圆锥曲线论》倍加推崇。

我们知道，到一个定点的距离和到一条直线的距离相等的动点轨迹为抛物线，到一个定点的距离为定值的动点轨迹为一个圆，到两个定点的距离之和为定值的动点轨迹为一个椭圆，到两个定点的距离之差为定值的动点轨迹为双曲线。那么，到两个定点的距离之比为定值的动点轨迹即为一个阿波罗尼斯圆。

阿波罗尼斯圆，即在平面上有两个定点A和B，以及一个动点P，如果|PA| : |PB|为一个不等于 1的定制λ，那么P的轨迹就是一个圆。上述交附自招考试题中出现的圆，即|AB| = 3，λ = 2的阿波罗尼斯圆。

阿波罗尼斯圆很容易被证明。设A的坐标为(0, 0)，B的坐标为(a, 0)，设P的坐标为(x, y)，根据|PA| : |PB| = λ，|PA|² : |PB|² = λ²，即 (x²+ y²) / [(x - a) ² + y²] = λ²。

整理可以得到，[x - λ²/( λ² - 1)∙a]² + y² = [λ/( λ² - 1)∙a]²，即动点P的轨迹为一个以(λ²/( λ² - 1)∙a, 0)为圆心、λ/|λ² – 1|∙a为半径的圆。当λ > 1时，圆心在B点的右侧；当λ < 1时，圆心在A点的左侧。特殊地，当λ = 1时，圆心位于无穷远，半径无穷大，此时阿波罗尼斯圆变成了线段AB的中垂线。

参考出处：

1. https://www.toppr.com/bytes/conic-sections-2/

文\Athlon_BE
2019.3.26