概念速查：多项式分布

作者: 陆仔的自在生活 | 来源:发表于2023-06-04 12:49 被阅读0次

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服从多项式分布的随机向量 $\boldsymbol{X}=(X_1, X_2, ..., X_n)$ 满足如下条件：

1） $X_i \ge 0 (i=1,...,n)$ ，且 $X_1 + X_2 + ... + X_n =N$ ；

2）设 $m_1, m_2, ..., m_n$ 为任意非负整数，且 $m_1+m_2,+...+m_n=N$ ；

事件 $\{X_1 = m_1, X_2 = m_2, ..., X_n=m_n\}$ 发生的概率为：

$P(X_1 = m_1, X_2 = m_2, ..., X_n=m_n)=\frac{N!}{m_{1}! m_{2}!...m_{n}!} p_{1}^{m_1} p_{2}^{m_2} ... p_{n}^{m_n}$
其中， $p_i \ge 0 (i = 1, ..., n)$ ， $p_1+p_2,+...+p_n=1$ 。

【举例】
一个6面的均匀骰子，投掷6次，投掷结果为：点数1五次，点数3一次，其余点数零次；该事件发生的概率为：
$\begin{aligned} & P(X_1=5, X_2=0, X_3=1, X_4=0, X_5=0, X_6=0) \\ &= \frac{6!}{5! 0! 1!0!0!0!} \left(\frac{1}{6} \right)^{5}\left(\frac{1}{6} \right)^{0} \left(\frac{1}{6} \right)^{1} \left(\frac{1}{6} \right)^{0} \left(\frac{1}{6} \right)^{0} \left(\frac{1}{6} \right)^{0} \\ &= \frac{1}{6^{5}} \end{aligned}$

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