排序（1）-排序的基础知识和复杂度O(n^2）的排序算法

排序通常是我们学习到的第一个算法，排序算法的应用十分广泛。下面我们就来学习关于排序算法的种种知识。
首先，先给出一个思考题，插入排序和冒泡排序是非常常见的排序方式，它们的时间复杂度都是O(n²)，但是在实际的软件开发中，我们常常倾向于使用插入排序而不是冒泡排序，这是为什么呢？学习完本节内容，你会得到答案。

如何分析一个排序算法？

对于排序算法，我们一般会从这几个方面衡量：

排序算法的执行效率（不仅仅包括时间复杂度）：

1.最好情况、最坏情况、平均情况 的时间复杂度

分析一个排序算法，你要给出最好情况、最坏情况、平均情况下的时间复杂度，并且你还要说明怎样的数据会造成“最好”和“最坏”的情况。
为什么要区分这三种复杂度呢？第一，有些排序算法在三中情况下的性能表现差异很大，所以我们最好都坐一下区分。第二，要排序的数据中，有序程度是不同的，这种程度对排序的执行会有影响，我们需要直到排序算法在不同数据下的性能表现。

2.关注时间复杂度的系数、常数、低阶

有些排序算法具有相同的时间复杂度，在这种情况下我们如何考量它们之间的性能差异呢？这时我们就需要把系数、常数、低阶 都考虑进来。

3.比较次数和交换（或移动）次数

基于比较的排序算法在执行过程中，会涉及 比较 和 元素移动两种操作，这也是我们需要考量的。

排序算法的内存消耗（空间复杂度）：

对于空间复杂度为O(1)的排序算法，我们称之为原地排序。

排序算法的稳定性：

稳定性：待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，他们的先后顺序不发生改变。
你可能会疑惑稳定性对排序有什么意义呢？其实，单纯的数字排序确实不需要稳定性，但是在实际编程中，你可能对其它属性也有所要求。

比如说，我们现在要为电商交易系统中的“订单”进行排序。订单有两个属性：下单时间 和 订单金额。假设我们有庞大的订单数据，我们希望按照金额从小到大排序。对金额相同的订单，希望按照下单时间从早到晚有序，对于这样的一个需求，我们怎么办呢？

第一种想法是：先对金额进行排序，然后找到金额相同的订单再按照下单时间排序，这个想法没有问题，但是实际操作起来比较繁琐。
第二种想法：我们可以借助排序的稳定性，通过两次排序完成：首先，按照下单时间为订单排序，然后再使用稳定的排序算法，按照订单金额重新排序。经过这两次排序之后，就达到了要求。
我们用一个图帮助你理解：

排序稳定性的意义.jpg

几种复杂度为O(n²)的排序算法

冒泡排序

你可以这样理解冒泡：在一组数据中，依次两两比较，将大的数据放到上方（数据的后方），当一趟比较完成，最大的数就会在最上方（冒泡）。假设这组数据中共有n个数据，则进行n次冒泡就可以得到有序的数据。
你可以用这个图理解：

一趟冒泡排序.jpg
上面是一趟冒泡，当进行n次冒泡后： 冒泡全过程.jpg
排序完成。
上面的这种冒泡有优化的空间：如果在某一趟冒泡中没有发生数据交换，那么这个数据已经有序，我们可以通过一个标记实现：
冒泡的变动标记.jpg

下面是专栏作者给出的冒泡排序代码：

// 冒泡排序，a表示数组，n表示数组大小
public void bubbleSort(int[] a, int n) {
  if (n <= 1) return;
 
 for (int i = 0; i < n; ++i) {
    // 提前退出冒泡循环的标志位
    boolean flag = false;
    for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j) {
      if (a[j] > a[j+1]) { // 交换
        int tmp = a[j];
        a[j] = a[j+1];
        a[j+1] = tmp;
        flag = true;  // 表示有数据交换      
      }
    }
    if (!flag) break;  // 没有数据交换，提前退出
  }
}

对照思路，我用python也写了冒泡：

def mp_sort(l):
    for i in range(len(l)):
        flag = False
        for j in range(len(l) - i - 1):
            if l[j] > l[j + 1]:
                l[j], l[j + 1] = l[j + 1], l[j]
                flag = True
        if not flag:
            break

让我们分析一下冒泡排序：

• 空间复杂度：冒泡排序只使用了常量级的空间，空间复杂度为O(n)，是原地排序算法。
• 稳定性：当两个元素相等的时候，我们可以不对元素进行交换，所以，是稳定的排序算法。
• 时间复杂度：
  最好情况：数组已经有序，只需要进行一趟检测，复杂度为O(1)
  最坏情况：数组完全倒序，复杂度为O(n²)
  平均情况：如果要完全依照概率分析，分析十分复杂，所以这里使用一种简单的分析思路：
  有序度：数组中具有有序元素对的个数，其中有序元素对：

有序元素对：a[i] <= a[j], 如果i < j

下图：

有序度.jpg

满有序度：如果一个数组有 n 个数，且数组完全有序，其有序度为 n*(n-1)/2 ，这种完全有序的数组的有序度叫做满有序度。（只需要记住那个公式即可）
逆序度：和有序度的定义相反，我们也可以通过计算得到： 逆序度 = 满有序度 - 有序度

我们假设要排序的数组的初始状态是 4，5，6，3，2，1 ，其中，有序元素对有 (4，5) (4，6)(5，6)，所以有序度是 3。n=6，所以排序完成之后终态的满有序度为 n*(n-1)/2=15。

过程如下： 冒泡有序度.jpg

你会发现，在冒泡排序中，每交换一次，有序度就 +1 ，也就是说，不管算法怎么改进，交换次数都是确定的，交换次数就 等于 逆序度。在最好情况下，逆序度为 0 ，在最坏情况下，逆序度为 n*(n-1)/2=15，我们取一个中间值 n*(n-1)/2=15，来假设有序度既不是很高也不是很低的情况。
换句话说，平均情况下，需要 n*(n-1)/2=15 次交换操作，比较操作比交换操作多，而复杂度的上限是O(n²)，所以平均情况下的时间复杂度为O(n²)。

上面的过程并不严格，但还是很实用，在快排中我们还会用到这种方法来分析平均时间复杂度。

插入排序

插入思想：如果你要向一个有序数组中插入一个数据，你要怎么办？ 数据插入.jpg 插入排序就是基于这种插入思想构成的算法：将整个数组分为两个区间：已排序区间 和 未排序区间。我们依次取出未排序区间的第一个数插入到已排序区间中，经过n次插入后排序完成： 插入排序的过程.jpg

话不多说，直接给代码：

// 插入排序，a表示数组，n表示数组大小
public void insertionSort(int[] a, int n) {
  if (n <= 1) return;

  for (int i = 1; i < n; ++i) {
    int value = a[i];
    int j = i - 1;
    // 查找插入的位置
    for (; j >= 0; --j) {
      if (a[j] > value) {
        a[j+1] = a[j];  // 数据移动
      } else {
        break;
      }
    }
    a[j+1] = value; // 插入数据
  }
}

def insert_sort(l):
    for i in range(len(l)):
        temp = l[i]
        j = i - 1
        while j >= 0:
            if l[j] > temp:
                l[j+1] = l[j]
            else:
                break
            j-=1
        l[j+1] = temp

插入排序的性能分析：

• 是否为原地排序算法：是
• 是否为稳定排序算法：是
• 时间复杂度：
  最好情况：O(n)
  最坏情况：O(n²)
  平均时间复杂度：
  我们依旧借助有序度做近似分析：你会发现，算法移动数据的次数 等于 逆序度：
  插入排序的有序度.jpg
  分析过程类似，最后得到平均时间复杂度为O(n²)。

思考解答

前面我们提到，即使冒泡和插入两种排序算法的时间复杂度一样，但是人们更加喜欢使用插入排序。
下面就直接引用专栏作者的话：

我们前面分析冒泡排序和插入排序的时候讲到，冒泡排序不管怎么优化，元素交换的次数是一个固定值，是原始数据的逆序度。插入排序是同样的，不管怎么优化，元素移动的次数也等于原始数据的逆序度。

但是，从代码实现上来看，冒泡排序的数据交换要比插入排序的数据移动要复杂，冒泡排序需要 3 个赋值操作，而插入排序只需要 1 个。我们来看这段操作：

冒泡排序中数据的交换操作：
if (a[j] > a[j+1]) { // 交换
   int tmp = a[j];
   a[j] = a[j+1];
   a[j+1] = tmp;
   flag = true;
}

插入排序中数据的移动操作：
if (a[j] > value) {
  a[j+1] = a[j];  // 数据移动
} else {
  break;
}

我们把执行一个赋值语句的时间粗略地计为单位时间（unit_time），然后分别用冒泡排序和插入排序对同一个逆序度是 K 的数组进行排序。用冒泡排序，需要 K 次交换操作，每次需要 3 个赋值语句，所以交换操作总耗时就是 3K 单位时间。而插入排序中数据移动操作只需要 K 个单位时间。

这个只是我们非常理论的分析，为了实验，针对上面的冒泡排序和插入排序的 Java 代码，我写了一个性能对比测试程序，随机生成 10000 个数组，每个数组中包含 200 个数据，然后在我的机器上分别用冒泡和插入排序算法来排序，冒泡排序算法大约 700ms 才能执行完成，而插入排序只需要 100ms 左右就能搞定！

所以，虽然冒泡排序和插入排序在时间复杂度上是一样的，都是 O(n2)，但是如果我们希望把性能优化做到极致，那肯定首选插入排序。

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以上就是这部分的内容，希望你有所收获。

注：本文章的主要内容来自我对极客时间app的《数据结构与算法之美》专栏的总结，我大量引用了其中的代码和截图，如果想要了解具体内容，可以前往极客时间