数据分析｜偏离正态分布和风险度量

前面可以看出超额收益的正态分布大大简化了组合选择的过程，正态分布保证标准差是衡量风险的完美度量，因此夏普比率是证券表现的完美度量。然而，很多投资者通过观察相信资产收益对正态分布的偏离已经很显著，不可忽视。

正态偏离可以通过计算收益分布的高阶矩来看到。超额收益R的n阶中心矩为，一阶矩为0，二阶矩为方差的估计值 (注:对于一个关于均值对称的分布，比如正态分布而言，所有的奇数矩量(n=1，3，5，…)的期望都为零，而所有的偶数矩量都仅仅是标准差的一个函数。比如，四阶矩为，六阶矩为。

因此，对于服从正态分布的收益率而言，标准差提供了风险的全部信息，而资产组合的投资绩效可以通过夏普比率来计算。然而对于其他非对称分布而言，奇数阶矩可能非零。一个比正态分布更大的偶数阶矩，加上一个负的奇数阶矩，意味着发生极端恶劣状况概率的增加。)

一个关于不对称性的度量，称为偏度(skew)，计算公式如下:

偏差的立方有正有负。因此，如果分布是右偏，则如图中黑色的曲线，偏度为正。左偏如浅色曲线所示，偏度为负。当偏度为正时，标准差高估风险; 当偏度为负时，标准差低估风险。

另一个正态偏离的度量考虑分布两端极端值出现的可能性，即从图像上来看有肥尾特征的情况，分布的尾部发生的概率较正态分布预测的要高，分布中部发生的概率则较正态分布的低。

这种度量称为峰，计算公式如下:

之所以减去3是因为正态分布的上述比率为3，所以正态分布的峰度为零，峰度为正则说明存在肥尾现象。肥尾曲线峰度为0.35。

极端负值可能由负偏度以及负峰度产生。

因此，我们需要一个风险度量来衡量极端负收益率的发生情况。注意偏度和峰度都为纯数值。它们不会随着高频观测值的年化而变化。极端负收益的频繁发生会导致出现负偏和肥尾。

因此，我们需要揭示极端负收益发生的风险测度。

我们将讨论业界最普遍使用的该种测度:在险价值、预期损失、下偏标准差和极端收益频率(3--sigma)。