2021-02-09

# 高斯曲率的几何意义

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两个主曲率的乘积，称为高斯曲率。高斯曲率有大小，有正负。

定理：（高斯绝妙定理）高斯曲率K由曲面的第一基本形式完全决定.

故高斯曲率是一个内蕴几何量，曲面的第一基本形式蕴含了曲面弯曲的性质。通过对高斯曲率的值，可以大致分析出曲面上该点的弯曲程度。

曲面在一点的高斯曲率反映该点附近的形状变化。

$K=\frac{L N-M^{2}}{E G-F^{2}}$

因为$E G-F^{2}=P_{u}^{2} P_{v}^{2}-\left(P_{u} \cdot P_{v}\right)^{2}=\left(P_{u} \times P_{v}\right)^{2}>0$，故$K与LN-M^{2}$同号。

对于$p \in S$ :

1)若K>0,则称p为椭圆点；

2)若K<0,则称p为双曲点；

3)若K=0,则称p为抛物点。

如果曲面方程为$P(u,v)=σ(u)+v·l(u)$，其中l(u)为单位向量，则称此曲面为直纹面(ruled surface)。这时v曲线为直线，因此直纹面是由一条条直线所织成，这些直线就称为此直纹面的（直）母线。

定义：如果直纹面S满足

$\left(σ^{\prime}, l, l^{\prime}\right)=0$

则称S为可展曲面。

定理：直纹面S为可展曲面的充分必要条件为高斯曲率$K=0$

证明：

设曲面S的参数为$P(u,v)=σ(u)+v·l(u)$，其中$l(u)$为单位向量。

由（1）式子知，S为可展曲面的充要条件为$\left(σ^{\prime}, l, l^{\prime}\right)=0$，由$K=\frac{L N-M^{2}}{E G-F^{2}}$，得$K=\frac{-\left(l^{\prime}, σ^{\prime}, l\right)^{2}}{\left(E G-F^{2}\right)^{2}}$

充分性：

若S为可展曲面，即$\left(σ^{\prime}, l, l^{\prime}\right)=0$。

显然$K=0$

必要性：若$K=0$，那么$\frac{-\left(l^{\prime}, σ^{\prime}, l\right)^{2}}{\left(E G-F^{2}\right)^{2}}=0$,故$\left(σ^{\prime}, l, l^{\prime}\right)=0$，则S为可展曲面。

综上所述，直纹面S为可展曲面的充要条件为高斯曲率$K=0$.

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假设曲面P的高斯曲率是常数K。在曲面上选择正交参数系（u，v），它的第一基本形式为：$I=\mathrm{d} u^{2}+G(u, v) \mathrm{d} v^{2}$，且$G(u, v)$ 满足条件： $G(0, v)=1, \frac{\partial G}{\partial U}(0, v)=0$

由高斯曲率的表达式，有

$K=-\frac{1}{2 \sqrt{E G}}\left(\frac{\partial}{\partial u} \frac{G_{u}}{\sqrt{E G}}+\frac{\partial}{\partial v} \frac{E_{v}}{\sqrt{E G}}\right)$

所以${\sqrt{G}}$作为u的函数，满足二阶常系数微分方程：

$\sqrt{G}_{uu} +k \sqrt{G}=0$

初始条件为${\sqrt{G}}$（0，v)=1,$(\sqrt{G})_{u} (0,V)=0$

解得：

i) $K>0 \quad \sqrt{G}=\cos (\sqrt{k} u)$；

ii) $K=0 \quad \sqrt{G}=1$；

iii) $K<0 \quad \sqrt{G}=\operatorname{ch}(\sqrt{-k} u)$。

令$a>0$,于是常曲率曲面的第一基本形式分别为：

1）$K=\frac{1}{a^{2}}>0$ 时 $, I=d u^{2}+\cos ^{2} \frac{u}{a} d v^{2}$

2）$K=-\frac{1}{a^{2}}<0$ 时 $, I=d u^{2}+\cos ^{2} \frac{u}{a} d v^{2}$

3）$K=0$ 时 $, I=d u^{2}+d v^{2}$