卡尔曼滤波学习笔记

作者: 雨住多一横 | 来源:发表于2019-04-11 10:44 被阅读0次

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这篇文章参考博客

介绍

卡尔曼滤波的一个典型事例是从一组有限的，包含噪声的对物体位置的观察序列(可能有偏差)预测出物体的位置的坐标及速度
卡尔曼最初提出的滤波器形式现在一般称为简单卡尔曼滤波器，除此之外还有施密特扩展滤波器、信息滤波器以及很多平方根滤波器的变种，也许最常见的卡尔曼滤波器是锁相环，它在收音机、计算机和几乎任何视频或通讯设备中存在。
简单来说卡尔曼滤波器是一个‘optimal recursive data processing algorithm(最优化自回归数据处理算法)’，它广泛应用于机器人导航、控制、传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。
$\color{red}{近年来更被用于计算机图像处理，例如人脸识别，图像分割，边缘检测等等。}$

卡尔曼滤波算法(The Kalman Filter Algorithm)

首先引入一个离散控制过程系统。该系统通过一个线性随机微分方程(Linear Stochastic Difference equation)来描述，如下：
基本假设：

后验概率分布 $p(x_{k - 1}|y_{1:k - 1})$ 为高斯分布
动态系统是线性的
$x_{k} = Ax_{k - 1} + Bu_{k - 1} + q_{k - 1}$
$y_{k} = Hx_{k} + r_{k}$
系统噪声和测量噪声都是高斯分布的，协方差矩阵分别为 $Q_{k - 1}$ 和 $R_{k}$ 。

上两式子中，x(k)是k时刻的系统状态，u(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。y(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。q(k)和r(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance分别是Q，R( $\color{red}{这里我们假设他们不随系统状态变化而变化}$ )。
对于满足上面的条件(预测系统为：线性随机微分系统，预测和测量过程中的噪声为高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器，KF算法的流程和五个核心更新方程如下：

KF算法流程
卡尔曼滤波器的更新分为时间更新和状态更新两个阶段，状态更新的结果可以作为下一次时间更新的初值，状态更新的作用是修正时间更新阶段产生的结果，如下图所示：

五个更新方程

下面是一个例子：

假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。
好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。
假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。
由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance来判断。因为Kg²⁼⁵2/(5²⁺⁴2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。
现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5²⁾0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。
就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg，就是卡尔曼增益（Kalman Gain）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！

下面解释上面的计算过程
1、由k - 1时刻的最优温度值 $\hat{x}_{k - 1}$ 去预测k时刻的系统状态值 $\hat{x}_{k}^{-}$ ，如更新方程1所示，对应于上例中就是 $\hat{x}_{k - 1} = \hat{x}_{k}^{-} = 23^o$
2、由上一次的误差协方差 $P_{k - 1}$ 和预测过程噪声Q预测新的误差协方差 $\hat{P}_{k}^{-}$ ，如更新方程2所示，对应于上例中 $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ 。
3、计算卡尔曼增益，如更新方程3所示，对应上例中 $K_{k}^{2} = 5^{2}/{5^{2} + 4^{2}} = 0.78$
4、对系统当前状态的预测值进行校正，如更新方程4所示，对应于上例中 $\hat{x}_{k} = 23 + 0.78 * (25 - 23) = 24.56$ ， $\hat{x}_{k}$ 即为此次迭代的估计出的系统当前状态的最优值。
5、对当前系统预测误差值进行校正，并作为下次迭代的初始值，如更新方程5所示，对应上例中 $\left ( \left ( 1 - K_{k} \right ) * 5^{2}\right )^{0.5} = 2.35$

卡尔曼滤波用于跟踪定位

定位跟踪时，假设我们利用某种定位技术得到了目标位置的观测值，根据经验（往往是物体的运动规律）得到了物体的当前位置的预测值，那么为了使目标跟踪更加精确，往往需要对观测值和预测值进行加权平均来获得定位结果，权值大小取值取决于观测值和预测值各自的不确定程度。
数上可以证明：当预测系统为线性随机微分系统，预测和测量过程中的噪声为高斯白噪声时，按照科尔曼滤波来加权是最优的。