学习背景

室内定位项目中，基于tdoa的定位方式，需要精准的时钟同步，有关材料显示卡尔曼滤波时钟同步在准确度和稳定性上都比较突出。
我将通过分析公式的方式，记录学习过程。

卡尔曼滤波公式

卡尔曼滤波的5个公式

此外还要给出控制理论中的状态方程和观测方程

状态方程
观测方程

加权平均

对于卡尔曼滤波最直观、最容易接受的理解就是加权平均，但是带着平均的思想再看公式发现还是很难理解，这里给出一个参照公式 - 平均的增量公式。

增量平均公式

是否发现它与状态更新的第二个方程很像，其实他们不但长得像，在性质上都逐步减小了观测值对预估的影响。
这样我们找到了卡尔曼滤波5公式其中一个的原型。
对于一个静态系统这可能是一个可靠的估计，如果是一个时变的动态系统，这显然就不够用了。

动态系统

这里需要举个例子来说，因为对于不同的应用问题，这里是不一样的。
例如我的学习背景 - 时钟同步问题：
假定时钟随时间线性变化，设时钟变化速率v，时钟值为c，取离散值的节点用k表示，周期用T表示。
c(k) = c(k - 1) + T * v(k - 1)
v(k) = v(k - 1)
这两个式子的矩阵形式就是时间更新方程里的第一个，去掉Bu(k - 1)项。（这一项是考虑外部噪声，比如时钟变化速率在加速变化）

卡尔曼增益K

我们回过头来看一下增量平均公式中的

它对应的是卡尔曼滤波公式中的卡尔曼增益K，也是卡尔曼滤波算法的主要贡献之一。
对于一个需要长时间运行的系统N是无穷大的，这不利于系统的实现。
在追踪类问题中，目标会产生无法预计的变化，这种过分忽视观测值得做法会对估计性能产生不利影响。

卡尔曼先生用测量不确定度协方差R与估计不确定度协方差P来制作卡尔曼增益。
R通过观测设备厂家获得或通过大量测试统计。
P通过系统迭代收敛到0，初始选择会影响收敛速度。
接下来，我们将从另一个视角继续分析卡尔曼滤波的其他部分。

贝叶斯

卡尔曼滤波也是贝叶斯派系的一员，其状态更新方程符合隐式马尔科夫模型，可以看做是高斯分布的贝叶斯估计，比传统的贝叶斯估计更易计算概率。
而高斯分布的贝叶斯可以推导出最小二乘，于是我们得到另一个视角。

最小二乘

卡尔曼滤波可以看做是递归最小二乘。

小结

到此我们说卡尔曼滤波兼具贝叶斯与最小二乘的性质。