数学思想方法揭秘-17后记2(原创)

作者: 道悅 | 来源:发表于2019-12-28 23:29 被阅读0次

作者：王国波

上一篇：数学思想方法揭秘-16后记。

皮肉骨髓与境界

关键词：表象与本质（形与质、形与神、形似与神似）、拈花一笑心有灵犀、不落文字、有相与无相、有无思想&空无思想、辩证思维、变化、变通、无常、破相、看空&破空、有立有破、不着相。

先来几段看似和数学无关的题外话。

1）人生三大境界：第一阶段见山是山，见水是水；第二阶段见山不是山，见水不是水；第三阶段见山还是山，见水还是水。这个也体现辩证法否定之否定的螺旋式上升。

2）菩提达摩就要圆寂了，他召集弟子们说：“我的寿命快到了。死之前，我想证实一下你们的禅法修为到底如何，请你们将自己所悟到的说给我听听吧。”

大弟子首先站起来说：“我们不应该执著文字，也不应舍弃文字，而是应该把文字当做求道的工具。”

菩提达摩遗憾地说：“你只得到了我的皮。”

二弟子见师兄不行，连忙站起来说：“依我所了解的，就像庆喜看到了阿佛国，一见之后便再也见不着了。”

菩提达摩还是摇摇头，他说：“你只得到了我的肉。”

三弟子随后起来说：“地、水、火、风本来是空的，眼、耳、鼻、舌、根也非实有，整个世界无一法可得。”

菩提达摩回答道：“你只得到了我的骨。”

最后轮到最小的弟子，只见他站起身来，向菩提达摩三拜行礼，然后便站着不动了。菩提达摩哈哈大笑，说：“你已得到了我的髓。”

禅宗推崇的境界是一种无差别的境界，本然的先天的境界。然而那种无差别的明心见性境界说起来简单，真正做到却是非常难的，即便领悟体验到这种境界，如人饮水冷暖自知，却无法向旁人言说，开口便错，言语道断。因为通常的各种表达方式，例如语言文字有其局限性，凡是语言可表达的，必定是有差别的，必定是后天的有局限的，言不尽意的。

3）世尊在灵山会上，拈花示众，是时众皆默然，唯迦叶尊者破颜微笑。世尊曰：“吾有正法眼藏，涅盘妙心，实相无相，微妙法门，不立文字，教外别传，付嘱摩诃迦叶。” 这就是言语道断，心有灵犀。

4）《金刚经》:“应无所住而生其心”、无人相、无我相、无众生相。虽然见相，但不执着于相，不着相。有相与无相，眼中有相，眼中看到五彩缤纷的相，但心中无相，心中不拘泥于某个相，心中无相外化为有相，但不执着于相。

相：事物的外形和形态。名相：耳可闻者曰名，眼可见者曰相。

一切事物都是在一定因缘条件下形成的，都是空幻无实的；空是一切事物的本质，虽然体现于具体的万物，然而它本身却是没有形象、没有聚散生灭、超越于一切万有之上的，难以用文字来表达。

着相：意思是执着于外相、虚相或个体意识而偏离了本质。

实相：指世间事物本来的面貌或状态，本质。实相也就是无相、空相。

无相：与“有相”相对，是指摆脱对一切事物的有相认识后(破相)感悟真知的最高境界，本质，即“于一切相，离一切相，即是无相”。

实相、无相，特别是无相一般是言语道断，不立文字的，不落到文字上。

有相：指具有外形、能区别于其它事物、会生灭变化的事物。万有皆空、心体本寂，所以“有相”就是“造作之相”或“虚假之相”，本质其实还是“无相”。

“有相”也可指某一事物的外形和形态在我们脑中形成的认识，或称概念。它可分为有形的（可见的）和无形的（也就是意识）。凡所有相，皆是虚妄。肤浅的理解，“有相”就是外界事物在我们大脑中的对应物。打个比喻，我们照镜子时，镜子中的镜像(影子)就是我们真身的相，而真身就是原生事务及其本质，在比如看到风景，看到某人的面相都会在我们大脑中留下对应的相。还有常说的水中花，江中月，照片中的风景，这些就是花和月的相，风景的相，它们不是花和月，和真正的花和月有本质上的差异，它们是虚妄的。在数学中，相就是各种数学公式、模型、已知条件&结论、定理、表达式、关系式、图形、方程、函数等在我们大脑这面镜子中的对应物，它们和真身已经不一致了，况且写在纸上和书本上的这些公式、模型、已知条件&结论、定理、表达式、关系式、图形、方程、函数也是“有相”，我们看到这些纸上的相之后在大脑中形成这些相的相，就像复印一样，或用手机对着一张照片拍照翻拍一样。

类似地，对任何一种方法也不要迷信，不要有法执。法无定法，没有哪种方法是万能的，绝对的，要具体问题具体分析，选择合适的方法。

不要被各种形形色色的表象也就是名相弄花了眼，看花了眼，要洞见表象后的本质本意。对本质，不同的人有不同的理解，这些本质本意可以有不同的层次，我们有时要注意领悟不立文字的本质本意。

5）《道德经》道可道，非常道，名可名，非常名。无名，天地之始，有名万物之母。可以言说的，都不是恒常的本质的。数学思维之道也是如此，为了传道，不能不说，但最上一乘妙道难以说尽，只可意会只可自悟。

6）吕纯阳《百字铭》：真常须应物，应物要不迷。内心和思维不要被表象迷惑，不放弃表象，但不能执着于表象，要看清本质，看透本质，如如不动。

7）《倚天屠龙记》中张三丰教张无忌学太极剑时的一段对话。张三丰第一次问：无忌，我刚刚演练的太极剑法你还记得多少呢？张无忌回答：还记得一大半。张三丰过了一会又问：现在还记得多少？张无忌回答：还记得一小半。再过了一会，张三丰又问：这次还记得多少呢？张无忌回答：全忘记了。张三丰神秘的一笑，说道：你可以和他们去打了。

8）《西游记》：万般神通皆小术，唯有空空是大道。

9）《悟真篇》：不求大道出迷途，纵负贤才岂丈夫。

数学思维就是要在数学学习的思维游戏中领悟思维的大道，不能舍本逐末买椟还珠只迷恋雕虫小技，只顾学数学知识和低层次的方法而对数学思想方法的大道不去深入探究。

10）《金刚经》著名的三段论：佛说...即非...是名...”，例如：”庄严佛土者,即非庄严,是名庄严”。这句话有立有破，要破执，要会灵活变化变通，不要执迷和固化各种名相、各种知识、各种思想观念、各种概念、各种事物。好比家里的不动产，是真的不动？几百年后肯定动，拆啦，地震来了也会动。

在数学中，变量一定是变量？常量/数字（例如3）一定不变？

要证明这个结论就一定不能转化成证明另一个结论？

其实仿照三段论，对常量、变量、方程应该这样辩证地认识：说变量，即非变量，是名变量；说常量，即非常量，是名常量、说方程，即非方程，是名方程。也就是变量有时确实要看作变量，但有时不要看作变量；常量或数字有时确实要看作常量，但有时不要看作常量。

回过头再品味下<数学思想方法揭秘-5(原创)>中的第19题，解方程用到了不等式，所以方程难道就一定要看作方程？不能用与方程有关联关系的不等式来解？第24题， $3^3 与5^3$ 这两个数字常量就一定只能看作常量，不能看作或对应为变量/未知数？几何题就一定只能用几何法来解，不能用代数法，也就是数形结合？显然不是这样，第19题解方程用到了不等式，第24题把两个数字常量看作未知数。

再比如下面这道题。

x、y为正数，且x+2y=1，求 $\frac{1}{x} +\frac{1}{y}$ 的最小值。

$\frac{1}{x} 、\frac{1}{y}$ 分子中的1是数字常量，难道它就一定是常量形式，不能看作变量或换做其他形式？

显然不是，我们把分子中的1换做x+2y，很快就能得出最小值。

$\frac{1}{x} +\frac{1}{y} =\frac{x+2y}{x}+ \frac{x+2y}{y} =3+\frac{2y}{x}+ \frac{x}{y}$ $\geq 3+2\sqrt{2}$ ,进验证等号可成立，故最小值为 $3+2\sqrt{2}$ 。

做完此题，体会下这句话：我说1，即非1，故名1。也就是1有时不要看作1，但有时确实要看作1，根据情况灵活处理。

多元表征

横看成岭侧成峰，远景高低各不同。上面的论述其实都是对事物和认识的多元表征，不同层次的、不同维度的或不同形式的表征。前面讲的各种相就是现代的术语:表征。

表征（representation）的定义：

表征是指用某一种形式，将事物、想法或知识重新表现出来，它是外部事物在心理活动中的内部再现，是知识或事物在个体心理的反映和存在方式。它一方面反映客观事物，代表客观事物，另一方面又是心理活动进一步加工的对象。一定存在一个表征世界，也必定存在一个被表征世界。

同一事物可以存在多种不同的表征形式，也就是多元表征，例如对一个人的外形描述，可以用文字形式，可以用图片或视频形式或综合文字和图片表征。同一事物的不同表征形式是相互联系、相互转化、相互渗透的，全面掌握事物的多元表征，可以更全面地认识事物。数学中的数形结合思想就是利用了"数"表征和"形"表征相互联系相互转化的性质，可以从一种表征转换为另一种表征。

高中向量数量积也存在多元表征。两个平面向量a(x1,y1）、b(x2、y2),其数量积 $a\cdot b$ 就具有两种表征形式，一个表征是x1y1+x2y2,另一个是 $\vert a \vert \vert b \vert \cos \theta$ 。

此题用到了向量积的多元表征之间的相互转化。首先进行变形，识别出是数量积的表征形式1，但表征1在此题中不适合求解，所以转为使用表征2，求出最大值。

表征的多样性和按需构造&重构表征

一个数学对象的表征可以有多种，不要局限于常用的或固定的那几种。根据具体问题，如果现有的表征不合适，可以构造新的表征形式，也就是重构表征。例如未知数 $x(x>0)$ ，它可以具有多种表征形式，例如 $x、t^2 、\tan \theta$ ,根据解决问题的需要选用，如果这些都不合适，我们可以构造新的表征形式，例如构造新的表征 $e^m$ 。

外在表征和内在表征

外在表征是指以语言、文字、符号、图片、具体物、活动或实际情境等形式存在的表征.一般而言，外在表征不是文字符号就是图形符号，其中文字符号的表征较为抽象，它所表征的信息可以从任何知觉形式中取得，我们把这种表征称为“叙述性表征”；而图形符号较为具体，虽然也能从任何知觉形式中取得，但与视觉的关联性较强，因此图形表征也叫视觉化表征或描绘性表征。

内在表征是指存在于个体头脑里而无法直接观察的心理表征。内在表征也有不同的形式，有些表征是个别的、外显的，能根据规则加以组合的，以及较为抽象的形式；有些则不是个别的，以内隐的方式表征各种事物，具有宽松的组合规则，以及较为具体的形式，有些内在表征是言语道断，不立文字的。

同一个事物或问题的多个表征之间可以相互转化或切换，例如当用某个表征不便于描述事物或解决问题时，可尝试切换到其他表征或结合其他表征一起来描述或解决问题，数学中的数形结合思想就是运用了代数表征和图形表征的相互联系、相互转化、相互渗透、相互补充，结合了两种表征。

数学概念的表征通常具有多种形式，例如集合的表征就有多种形式，表示集合的方法通常有四种，即列举法、描述法、图像法和符号法。

表象(相)和本质

表象（相）和本质，可以粗略理解成一个是具体事物和事物的表面，本质是事物的内在。表象的具体的事物要经过抽象化的过程，去伪存真，去粗取精，去掉和我们问题无关的一些因素，得到抽象的原生的本质。但为了和众人交流这个抽象的本质，通常要讲出来或写出来落在纸上，一旦落在纸上，一旦讲出来，就言不尽意（任何语言表达都是有局限的，难以完整准确地表达本质，数学语言也有局限，有局限就有束缚，就有失真），就和原生的本质有了差异，有了失真。这个落在纸上的就好像我们在镜子中的影子，它是我们真身在镜子中的对应物，和真身有差异。

道德经：道可道非常道，名可名非常名。道和本质本来是不可言说的，言语道断，不立文字，言不尽意，只能心领神会的，如人饮水冷暖自知的。

不立(落)文字就是不要写在纸上，不要讲出来，一旦讲出来，一旦写到纸上就固化了禁锢了，就具体化了，就和不立文字的本质有了差异，有了失真，我们拿失真的东西去思考，认假为真，有时候是会出问题的。

不要迷于表象，要透过表象看到本质。最后也不要迷于本质而否定表象，着了空相。要辩证看待表象和本质。

上面啰嗦了很多，综合起来就一句话：别被表象掩盖了本质，要从表现中看到本质。

回到数学上来，举几个不太贴切有些牵强的例子来类比。

首先对数学学习和解题，不能单纯只有字面纸面上的理解（字面上的理解有可能是表象的肤浅的理解，也就是虚幻的失真的片面的“有相”，镜中月水中花），虽然我们达不到不立文字，但还是要有一些试图脱离纸面的理解（离本质近一些的理解）或者说更抽象或脱离符号化束缚的理解。数学语言和数学符号化确实有用，但成也萧何败也萧何，它同时也会束缚和局限我们的思维和理解，所以说要脱离纸面和脱离符号化形式的理解来试图打破这种束缚和局限。

第一个例子。对均值不等式 $a^2 +b^2 \geq 2ab$ ，它就是数学符号化的表示形式，是一种表征形式，它是（有）相，当看到此不等式时，很多人对它都只是从字面上进行“有相化的”理解和解读：两个数的平方和大于等于（不小于）这两个数乘积的两倍。

$a^2 +b^2 \geq 2ab$ 虽说是一个抽象，但它在很多人的脑中还只有它的“有相”，没有本质真身，没有实相和无相。

这种解读和理解类似于三大境界中的第一阶段，只看到事物的表面，比较肤浅片面。换一种表征(表述)形式，深入些的理解或一句话形式的抽象理解可以是这样：两个非负数之和大于等于这两个数乘积的平方根的两倍。这个就是均值不等式的本质本意。用简洁的数学语言来表示就是： $a+b \geq 2\sqrt{ab}$ ( $a\geq0、b \geq0$ ) 或 $m+n \geq 2\sqrt{mn} (m\geq 0、n\geq 0 )$ 、 $x^2 +y^2 \geq 2xy$ 、 $a^2 + b^2 \geq 2ab$ 。可见这个均值不等式的本意和这两个数的符号化名字是 $a和b$ ，还是 $x^2和y^2$ ，还是 $a^2和b^2$ 无关，而这些名字就是表象就是名相，这些名字容易引导我们的思维从字面上从表象上理解这些本意，如果思维和理解只跟着表象走就容易被表象带沟里去了，就走偏了。

再比如，一个人可能有多个名字，但名字后面的真人只有一个，不要被他的多个名字所迷惑而不知道背后是同一个人，这个人的本质和他的名字无关。

$a^2 +b^2 \geq 2ab 和a+b \geq 2\sqrt{ab}$ 都还是表象都还是有形的符号和表达式，更深入的解读应该是"得意忘形得意忘象"，理解领悟到表象的言外之意或者隐含的本质(深刻涵义、高观点的道)之后，要不拘泥于已有的表象，超越表象，脱离纸面与语言，做到眼中虽然有具体的象，手中有象，但心中不执着不拘泥于具体的象，而是心中装有更高的抽象，更上一层，有言语道断，不落文字的本质真身，悟空。有些东西，一落到语言文字层面或落到纸面，就受到语言的束缚，说似一物即不中，例如均值不等式落到纸上用符号化的形式 $a^2 +b^2 \geq 2ab$ 表示出来，就已经丢失了一部分信息，和它的本质真身有了差异。诚如道德经所言，吾所以有大患者，为吾有身；及吾无身，吾有何患？

言语道断，言不尽意，有形的 $a^2 +b^2 \geq 2ab 和a+b \geq 2\sqrt{ab}$ 都不尽意，落在文字书本上的，落在语言上的，落在有形的具体上的，比不上无形的、不落文字、不落语言、心有灵犀的“实相无相”那样自由，那样空灵，那样意味无穷，那样通用。到言语道断的境界对均值不等式就入门三分地理解了，以后碰到各种各样要使用均值不等式的代数式时就能敏锐地意识到联想到均值不等式，因为已经能看透各种具体情况的马甲。

第二个例子。数列 $a_{n}$ 满足 $a_{n-1}+ a_{n} = 3n$ 。看到这些，第一眼的理解和通常的理解都是表面的字面上的理解，是失真的片面的，更深入的本质理解应该是忘形得意的：某数列中相邻的两个元素之和等于这两元素中较大下标的3倍。注意相邻这个词，它是对 $a_{n-1}和 a_{n}$ 位置关系的本质理解，这里的形就是符号 $a、a_{n}和a_{n-1}+ a_{n} = 3n$ 等诸如此类的这些。如果这样"得意忘形"的理解，就悟到这些形象背后的深意和言外之意，领悟到了精髓和本质。根据这个理解，由于 $a_{n-2} 和a_{n-1} 也相邻$ ，自然就能得出 $a_{n-2}+ a_{n-1} = 3(n-1)$ 。

"得意忘形"，不要机械死板的理解这四个字，前面讲过辩证思维辩证法，得意和忘形的关系也是辩证的，相互联系相互转化的。

第三个例子

这题不难，勉强用来举例。

这道题显然只靠一个函数关系式是求不出函数解析式的。如果领悟到关系式 $2f(x)+f(\frac{1}{x} )= x^3$

背后的深意，就能很快得到 $f(x)$ 的解析式。

就是落在纸上的用数学语言表示的一个关系式，如果单纯从字面上理解这个关系式，那它和这个关系是背后不立文字的本质关系是有差异的，有部分失真的。

所以我们要找到这个关系式背后对应的不立文字的本质关系，要获得脱离纸面的理解，力透纸背，这个本质关系才是这个关系式的真身&本体(本体)，这个关系式是这个真身的化身，是把这个真身用数学语言描述出来，最后落到纸上的化身，就象你在镜子中的影子一样，影子是虚幻的，影子和你的真身还是有差异的，有失真的。真身应该是比这个化身更抽象更无形，更脱离名相的，脱离概念的。

这个关系式背后的深意和本质真身，本应不立文字，但为了讲述，勉强落到纸面上，但要少用数学语言（因为语言有局限性，言不尽意），少用符号，但又不可一点都不用，所以这里说勉强，它可以勉强理解成这样：一个数(自变量)对应的函数值（因变量）的两倍与该自变量倒数的函数值之和等于该自变量的立方。这个理解也不是最本质的，但比 $2f(x)+f(\frac{1}{x} )= x^3$ 的相更接近本质，它超越了有形的具体的符号 $x和\frac{1}{x}$ (它们和‘自变量’三字相比是有形的，具体的)。由于 $\frac{1}{x}$ 也是一个变量，它也可以做自变量，所以根据这个理解，可以得出 $2f(\frac{1}{x} )+f(x)= (\frac{1}{x}) ^3$ 。再联立关系式

解方程得出 $f(x)$ 的解析式为 $\frac{2}{3} x^3-\frac{1}{3x^3}$ 。

换另一种理解方式。和本文第一题类似，不要被符号化的字面上的名字迷惑了，函数、方程、代数式、关系式等等之中的自变量和未知数的符号化名字都是表象，函数 $y=x^2与y=z^2或a=b^2$ 的本质是一样的(假设它们的定义域相同)，本质和名字是怎么无关。对此题，不要被函数自变量的名字 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 所迷惑，其实这个函数关系式 $2f(x)+f(\frac{1}{x} )= x^3$ 和 $2f(a)+f(\frac{1}{a} )= a^3$ 本质上是等价的一样的。

基于这个本质的理解，又考虑到 $\frac{1}{x}$ 也是一个数和自变量。就很快意识到可把 $\frac{1}{x}$ 代入 $2f(a)+f(\frac{1}{a} )= a^3$ 之中，或者理解为把 $a换成\frac{1}{x}$ 得到 $2f(\frac{1}{x} )+f(x)= (\frac{1}{x}) ^3$ ，这就是在本质的理解基础上得出的新事物新结论。

对了解 $2f(x)+f(\frac{1}{x} )= x^3$ 幕后本质本意的人来说，它和 $2f(a)+f(\frac{1}{a} )= a^3$ 是无区别的等价的，自变量名字是 $x还是a$ 没关系无区别。或者说 $2f(x)+f(\frac{1}{x} )= x^3$ 中 $f(x)$ 自变量名称或形式是

$x还是\frac{1}{x} 还是a无区别$ 。一元函数自变量的名字是什么不影响函数表达出的映射关系，关系式中各独立变量的名字也不影响关系式的本意，它可以是 $x$ ,或是 $\frac{1}{x}、y、a、c$ ，也就是此时名字是什么没区别。但在另外的情况(场景)下又有区别，例如我们联立 $2f(x)+f(\frac{1}{x} )= x^3 和$ $2f(\frac{1}{x} )+f(x)= (\frac{1}{x}) ^3$ 求解 $f(x)$ 解析式时， $x和\frac{1}{x}$ 是有区别的。函数自变量名称在什么情况下没区别，什么情况下有区别要注意。理解了这些，也就理解了本题中的函数关系式的本意。

对相反数 $x和\frac{1}{x}$ 的理解也要脱离表象，也就是要脱离名相，不要因为 $\frac{1}{x}$ 表象上是分式形式，就把它和 $x$ 区别看待，要把它们理解成mn=1，要用整体思想来理解它，如果思想上大脑中还不习惯这样整体地认识，还着相，还被表象迷惑，还有理解障碍或觉得不够简洁的话，就用换元法，就用换元法令 $\frac{1}{x} =n$ ,这样用n(表象)来理解它就感觉好些了。不能穿了马甲(形形色色的表象、名相)就不认识了。

这里也是否定之否定，首先从 $2f(x)+f(\frac{1}{x} )= x^3$

返本归元，领悟到不立文字的抽象本质，这个抽象本质只在脑子中还不行，因为要解决这道具体的数学题，所以还要落到具体层面，变现到具体层面，所以再从这个本质转到落到纸上的接近本质的理解，再根据这个理解转到更具体更有形的 $2f(\frac{1}{x} )+f(x)= (\frac{1}{x}) ^3$ ，我们的认知增值了，增加了，上升了。

成也萧何败也萧何，作茧自缚，尽信书不如无书，落到字面的文字、理论、模型有时是枷锁，陷阱和噪声，要能打破定势打破枷锁，不立文字，悟到本质，辩证思维。道可道非常道，名可名非常名，本来道是不可说的，如人饮水冷暖自知，心有灵犀拈花一笑的。但为了传道，勉而为之，勉强言说，结果却容易被人机械地理解和误解。古德有云：一句合头语，千古系驴橛。本来一句很好的"话"(要广义理解这里的'话'字，它是泛指，可以代表一句很好的话、一个有用的理论、思想、定律、诀窍、规定、一些数学知识、一道数学题的已知条件或结论)，如果因此让人执着于此，机械呆板地理解，不考虑当时的上下文场景，把它绝对化，让人拘泥于这句话，反而会限制了人的思维，成为栓驴的橛子。不可不慎，具体问题具体分析，没有银弹，不要让自己成为被系在这橛子上的驴人。

这里再用一道和抛物线有关的题, 来阐述不要着相，要培养洞察本质的能力。虽说是高中题，其实初中生也可做。

首先读题理解题意，提取和识别题目中的关键信息：二次函数，联想到抛物线、纵坐标差值(高度差）、横坐标差值(小于等于2)、横坐标区间( 区间长度为2，t+1-(t-1)=2)。显然横坐标区间是变动的，所以我们可建模为"滑动区间"(此处的滑动要理解为形容词，可滑动的意思)，像一个可以滑动的窗口，区间长度长度始终为2。

看到这题，大脑中第一反应是联想到抛物线和坐标系，该抛物线对称轴为 $-\frac{10}{a} ，小于0，$ 垂直于x轴负半轴，坐标原点不在该抛物线的顶点(最低点)。

显然如果坐标原点在抛物线顶点处就可简化问题，此时 $y=f(x)=ax^2$ 。

如果洞察力强，很快就明白此题和坐标系的位置(包括原点位置)在哪没有关系，因为决定此题本质的的关键信息是坐标之差(横坐标之差、纵坐标之差，区间之差&长度)，而这些差值和坐标系在哪无关，只要两个坐标系的对应坐标轴相互之间是平行的即可。

就好比一个长方形桌面，我们可以在桌面所在平面上建多个二维坐标系，这些坐标系的对应坐标轴之间是平行的，即X轴与X轴平行，Y轴与Y轴平行。桌面上两点的横坐标之差、纵坐标之差都是定值，固定不变。差值大小与使用的是哪个坐标系无关，任意坐标系都是一样的，任意坐标系都可以，相互之间是等价的，没有区别，可以平等对待，只要坐标轴方向不变(平行)，哪个方便就用哪个坐标系。坐标系本来是人为规定的，但不要因为规定就始终不敢变动它，当时规定该坐标系的上下文和目前解决问题时面临的上下文不一定相同，具体问题具体分析，它不一定适用于当前的问题，我们不一定就固守着它不变，不一定要守旧照搬，而是要有批判质疑的意识，就像历史上的变法一样。再次好好体会前面讲的“一句合头语，千古系驴橛”，不要着相，不要被限制了思想的自由，碰到困难时要解放思想。

不要被大脑中想到的第一个坐标系(二次函数 $f(x)=ax^2+20x+14$ 所在的坐标系)迷惑了，迷惑就着相了，就上当了。如果洞见其本质就自由无碍了，哪个坐标系方便就用哪个。所以我们可以使用原点在抛物线顶点的坐标系，此时二次函数为 $y=ax^2$ ,如下图,该二次函数对应的抛物线和原题 $f(x)=ax^2+20x+14$ 对应的抛物线是同一个抛物线，就像同一个桌面，只是坐标系不同而已，所以桌面和抛物线才是本体(本尊)才是原始存在，坐标系和坐标值是后天人为加上去的，从二次函数 $f(x)=ax^2+20x+14$ 剥离非本质因素，回溯到抛物线这个内在本尊(本体)就是返本归源。得到本体后，可以得到这个本体的其他外相，例如 $f(x)=ax^2$ ，这两个二次函数(相)表征的是同一个抛物线。

要意识到坐标的绝对和相对、坐标系的绝对与相对、坐标原点的绝对与相对、坐标之差的绝对性(新旧坐标系只要是平行的，则坐标差不变；或保持坐标系不变，移动函数图像，坐标差也不变)。

抛物线的多元表征

洞见本质后，就明白原题中二次函数的一次项系数20和常数项14是多余的，可以为0，也可以为其他任意值。

对洞察力强的，在解题方法中可这样写：由于此题和坐标系无关，所以可以将二次函数对应的抛物线顶点移到原定处，此时抛物线方程变为 $y=f(x)=ax^2$ 。如果要严谨，理论上可用平移变换来解释，根据运动的相对性原理，既可以理解为平移抛物线(移动抛物线，将其顶点移到原点)，也可以理解为平移坐标系(移动坐标系[x轴和Y轴以原点]，使原点在抛物线顶点)，最终的解题方法如下图，可知a的最小值为8。

此题的思维过程，第一步是洞察本质：该题和坐标系无关，故平移坐标原点到抛物线顶点，函数变成 $y=ax^2$ 。显然也运用了数形结合，从二次函数想到抛物线和坐标系。

画图后，很容易想到要分类讨论，按区间最低点(此点的纵坐标最小)是否在区间两端和区间左右端点处哪一个是最高点来分类：第1种情况，最低点不在区间两端，而是在区间内部(最低点为原点)，’滑动区间’左边(left)在x轴原点左边，右边(right)在x轴原点右边，此时 $-2<l<0,0<r<2,r-l=2$ ；第2种情况，整个区间都在原点左边，最低点在区间的右端，最高点在左端， $l\leq -2,r\leq 0,r-l=2$ ；第3种情况和第2种相反，整个区间都在原点右边。

对第1种情况，画图后，很容易发现原点是特殊点，它是最低点，【-1,1】是最特殊的区间(最极端，最需要考虑的区间，它是对称区间，f(-1)=f(1),f(0)=0)，此时必须要满足 $f(1)-f(0)\geq 8，即a\geq 8。$ 【-1,1】区间只是第1种情况众多区间中的一个，其它区间还要讨论，此时运用运动思维，将”滑动区间”进行滑动，可以往【-1,1】左边滑，也可往右边滑，但始终属于第一种情况。可以发现此时只要 $a\geq 8，都可满足题目的要求$ 。

接下来，由于抛物线的对称性，第2种和第3种情况是相同的，故只需讨论第3种，此时可知只要 $a\geq 8$ ，就一定可满足题目的要求。例如至少有 $x1=l,x2=r满足$ $f(r)-f(l)=a(r-l)(r+l)\geq 8\times 2\times 2>8,r-l=2,02,r+l> r>2$

对第3种情况，我们也可不沿用第1种情况得出的 $a\geq 8$ 。此时

$r-l=2,r+l\geq r\geq 2，由f(r)-f(l)=a(r-l)(r+l)\geq a\times 2\times 2>8可得a\geq 2$ 。

综合三种情况，可知 $a\geq 8$ ,故a的最小值为8。

总结下本题用到的思想：数形结合、变换、分类讨论、考虑极端(特殊化)、运动思想(滑动)。

如果是a<0,且题目改为求满足条件的a的最大值，很容易明白此时a的最大值为-8。

泛指和特指(专指)

在数列或与自然数序列有关的问题中，例如在数列相关的同一道题中，数列元素 $a_{n} 有时是泛指，为任意元素 (下标n范围内的所有元素)，此时a_{n-1} 、a_{n+1}和它可以等同替换。$ $例如a_{n} >2也表示a_{n-1}>2和a_{n+1}>2$ 。

有时是特指或加了限定缩小了范围的泛指，例如 $a_{n+1} =2a_{n} +1$ , 这个表示相邻两元素(前驱和后继)的关系，此关系式中 $a_{n} 和a_{n+1} 不能等同。a_{n} 代表前驱元素或任一前驱元素，$ ， $a_{n+1} 指任一后继元素。这个关系式是表象，它的本质涵义是任一后继元素$ $=2倍的前驱加1，所以它也能涵盖a_{n}=2a_{n-1} +1、a_{n+2} =a_{n+1} +1$ 。

对自然数序列也类似，例如 $s=\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{4} +...+\frac{1}{n-1}+ \frac{1}{n}$ ,这里的分母中有2、3、4、...、n-1、n等自然数，在这个代数式中，n有两种涵义：首先表示相加的最后一个分式的分母，其次它和2、n-1一起表达出这个代数式的分母是从2开始的连续自然数。所以在这个代数式中并不表示n不能为2或3，它可以为2或3或4，例如在特定的两个式子 $s=\frac{1}{2}或s= \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}$ 中，n=2或3。

也就是在同一道题中，同一个数学符号或元素，有时可能是泛指，有时是特指或缩小了范围的有限定的泛指，要分场景来理解，要理解数学表达式背后的本质涵义，不要被表现迷惑。

总结：上面的内容其实都是告诉我们要解放思想，要懂得变化，灵活变通，随机应变。多样性就是多变性，就是无常，就是不执着不着相。

溯源思维和马斯克的第一性原理

西游记中，孙悟空碰到难以降伏的妖怪，主要原因不是因为妖怪的法宝厉害，而是孙悟空不知道妖怪是什么变出来的，不知道妖怪的原型和来历/本源，例如蜈蚣精和蝎子精，一旦知道它们的原型，就知道找对应的高人帮忙去收复它们了。

与此类似，我们看到的大多是经过各种变化&显化&具象化后的一些事物、表象、马甲，而不知道事物最初的原型、本质或本源，所以就被迷惑，找不出解决方案。

前面讲过命题人思维，讲过命题人怎么出题。我们碰到的数学题大多是命题人经过各种变换后产生的，如果我们不知道这些题的来历、原型或变换手法，那这些题往往对我们而言就是难题。

前面讲到表象与本质，当我们看到怎么出题，表象，不能执着于该表象，要想到其它的表象，例如数形结合，看到形要想到数，看到数要想到形，数和形都是同一个问题的表象，一个问题或一个事物可有多个表象，多元表征。

降本流末，而生万物:道生一，一生二，二生三，三生万物。

反者道之动，全在其中颠倒颠。看到表象，更要溯源到这些表象幕后的本质，追本溯源，返本归源，拨云见日，回归到事物背后的本质(本质原因、本质机理、本质模型、本质原型)/本源上去思考问题，这就是溯源思维。分析法执果索因，从结果(结论)倒推原因,倒推充分/充要/必要条件就是运用了溯源思维。

回溯思维的倒推，也可以认为是从下游溯源到上游，从具体到抽象，从外在到内在，从低层次到高层次，从低等观点到高观点，从后天到先天，从肤浅到深刻，从蛋想到鸡(假设鸡是本源)，从变换想到反变换。

例如命题人出一道几何题，假设他是从一个长方形开始，把长方形的几个角切掉后变成一个边长复杂的三角形，要我们求三角形的面积。如果我们不知道这个三角形是从长方形这个原型经过切割变换变来的，那求三角形面积就比较麻烦，计算面积花费的时间较长，而如果能通过切割的反变换(修补)溯源到长方形这个原型，那计算面积就简便了。具体例子参见数学思想方法揭秘-5(原创)第23题。

回溯要合情合理，多反问自己目前的状态或目前的问题、目前的几何结构、目前的代数式、目前的数值等可能是通过什么原型、什么模式、什么变换变化而来的，一旦找出可能的来源，那解决问题基本上就不难了。合情合理的设想后续文章会有介绍。

回溯思维和逆向思维类似，但逆向思维只强调思考的方向，回溯思维除了逆向，强调的是回溯到问题的本源本质，例如从已知条件回溯到它的本源，从结论回溯到它的本源。

运用构造法构造数学对象时，就要具有回溯思维，先上后下，以退为进，构造出本质模型，回归到本质模型，基于这个本质模型重新思考问题。先上，就是先逆流溯源退回到本源：从数学问题的已知条件或结论出发，返本归源，深挖根源，变更问题，构造出本源的上游的本质的模型(数学对象)，解决问题的钥匙和关键突破口在这些本源对象上。后下：心系问题结论和目标，研究本源数学对象，再前进，顺势得出结论。要得到鸡蛋(结论)，就要构造出母鸡(本源)，然后让母鸡下蛋，生出蛋来。这里不纠结鸡生蛋还是蛋生鸡的初始问题。回溯探究本源，就像西游记中，只要知道妖怪的原形是什么就好降妖，妖怪一般显现的是表象马甲(伪装的假象)，不会轻易露出原形。

运用回溯思维寻找本源，要综合已知条件、结论的特征和它们的内在联系，借助使用联想、抽象、类比、合情合理的猜想等才能找到本源。

在解决问题时，我们要有回溯的意识，看见一缕阳光一米阳光，不畏浮云遮望眼，要大胆拨云见日，用慧眼洞见本源，知晓来龙去脉。

反者道之动，溯源思维是面向过去，追问来历追问根源，看它是从什么东西通过什么方式变出来的，相对地，还要面向未来，追问下一步如何发展变化，下一步怎么变，能变成什么。综合起来就是要关注来龙去脉：从哪里来到哪里去，怎么来的，怎么去的。

爱因斯坦：“你无法在制造问题的同一思维层次上解决这个问题。”也就是说，要解决问题，需要思维上的升级，否则问题很难得到解决。横向溯源，回溯到上游找问题本源或问题本质；纵向上溯源，跳出当前问题所在层次，上升到更高层次，高屋建瓴，高观点俯视当前问题。

与此相关的，网上有篇文章<<如何成为解决问题的高手>>前半部分可以看一看。

找本源本质&找感性的非形式化的本质理解

沿着表现与本质和回溯思维，继续谈谈要有探究本质的意识，要对本质和原理有感觉，有感性化的理解，而不只是具有形式化理论化的生硬的理性化理解。生硬的理论化的理性理解很多时候是容易忘记的，不入脑，潜意识和心理上并不怎么接受这种理解，不容易同化消化吸收它们，所以容易忘记，要时不时地重复学习和记忆，就像人体器官移植，人体对外来器官是排斥的，不容易接受外来器官作为自己身体的一部分，所以要经常吃药抑制排斥反应。而感性理解就不一样，一旦获得对本质的感性化的理解或直觉理解，就觉得很亲切很自然很贴合，不生硬，潜意识就容易接受，容易同化吸收它们，它们几乎很自然地无阻碍地紧密融入到自己的知识结构和意识中，自然就不容易忘记。当然对感性化的本质理解可能不容易言说，言语道断，不容易讲清楚，交流困难，但自己内心要有感性化的领悟。

感性先行，这也符合人的认知心理，人容易接受理解感性认知。感性相对具体和非形式化，理性相对抽象和形式化。先感性后理性，从感性认识入手，有了感性认知，理性就不远了，就相对容易了，容易对理性认识恍然大悟。省略感性认识阶段直接就到理性认知，跨度太大，容易扯到蛋，不容易接受，也不容易获得理性认识，即便强行获得或通过学习别人的理性认识获得也不容易入脑，阻抗过大。

前面提到过一句话的本质，例如列方程的一句话本质就是找等价等量关系，找不变量，算两次，根据等价关系来列等式。

高中数学利用不动点来求数列通项公式，它的感性形式的本质理解是什么?不是如下这些命题的理论证明。

一旦对不动点求数列通项公式有感性化的本质理解，上面的命题和证明是不难的，也不觉得突兀。那不动点求数列通项公式的感性化的本质理解是什么？自己思考下。和同构结构模式有关系，但同构还不够，还要继续深挖，为何会出现同构结构？把这个想清楚了就对不动点求数列通项公式的本质有深刻的自然的理解，就会恍然大悟，原来如此，也把相关知识融汇贯通了。

发散思维和联系观

辩证法中的万事万物的联系观&关系思想先前提到过，也强调过学习知识时要注意新知识和旧知识的区别与联系，要系统地构建和掌握知识体系&知识网络，知识网络就是体现知识之间的相互联系融汇贯通，梳理知识网络的形式可以是有形的图，例如脑图。

发散思维就是不局限自己，不局限于当前问题和方案，就是变化的思维多维度的思维，多想想各种变化的情况，也就是各种变式。

前面提到过学习抽屉原理时，联想起它和平均数的关系，学习函数时要想起和它有联系的方程，例如学习二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ ，除了掌握函数相关的知识点，还要能想到二次方程 $ax^2+bx+c =0$ （这个二次方程又关联众多知识点，例如求根公式、因式分解、判别式、韦达定理），学习不等式时要想到和它有联系的函数和方程。我们事先在大脑中有一个这样的密切联系的知识网络，事先熟悉知识之间的联系，在碰到问题时，就有助于我们灵活变通、快速联想和思维发散。

这里再举两个主动思维发散和多联想多联系的例子。

1.学习余弦定理时，要能发散思维，联想到相关的知识点和一些延伸的、衍生的、推理出的结论，例如勾股定理，我们就能得出勾股定理是余弦定理的特殊情况，特例；当三角形三条分别为a、b、c，c为最长边，就能得出 $a^2+ b^2= c^2$ 时为直角三角形， $a^2+ b^2 < c^2$ 时为钝角三角形，当 $a^2+ b^2> c^2$ 时为锐角三角形。