卷积

线性时不变系统的响应可以由它的单位脉冲响应来表征

$y[n] = x[n]*h[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]$

$*$ 表示卷积运算， $h[n]$ 是该线性时不变系统的单位脉冲响应。

卷积运算的性质

1.交换律

$x[n]*h[n]=h[n]*x[n]$

2.分配律

$x[n]*(h_1[n]+h_2[n])=x[n]*h_1[n]+x[n]*h_2[n]$

3.结合律

$x[n]*(h_1[x]*h_2[n])=(x[n]*h_1[x])*h_2[n]$

常见的简单系统

1.时移系统

$y[n]=x[n-n_0]=x[n]*\delta [n-n_0]$

时移系统的单位脉冲响应为 $h[n]=\delta [n-n_0]$

2.累加器

$y[n]=\sum_{-\inf}^nx[n]=x[n]*u[n]$

累加器的单位脉冲响应为 $h[n]=u[n],u[n]$ 为单位阶跃信号

3.一次后向差分（累加器的逆系统）

$y[n]=x[n]-x[n-1]=x[n]*h[n]=x[n]*(\delta [n]-\delta [n-1])$

$x[n] *u[n]*(\delta [n]-\delta [n-1])=x[n]*(u[n]-u[n-1])=x[n]*\delta [n]=x[n]$

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