枚举法,又称穷举法,个人理解就是程序运行状态是可以别遍历的,遍历算法执行每一个状态,最终会找到一个最优的可行解。
举个栗子,今天中午我和同事商量去哪吃饭的问题,我们都不确定去哪一家,于是我就一家一家的数,臊子面,黄焖鸡米饭,牛肉拉面,鸡汤面......当我说到羊肉泡馍时,我同事眼前一亮,说,走羊肉泡馍走起。。。典型的穷举法,有么有?
世纪难题,今天中午吃什么?再如计算100以内的所有奇数,就可以采用枚举法。
求奇数那么,适用于穷举法求解的问题必须满足哪些条件呢?
(1)、可 预先确定每个解的元素N的个数;
(2)、解元素S1、S2....Sn的可能址为一个连续的值域;
应用穷举法的场合有: 求不定方程、排列组合、暴力破解算法;
由此可见穷举法的特点是什么呢?
1、穷举法的特点:
(1)、可供选择的答案或元素的范围是有限的,如今天中午吃什么的问题,我们可供选择的店就那么多家,并不是无限的;
(2)、可能做了很多无用功、浪费了宝贵的时间,所以导致效率比较低;
(3)、可供选择的答案或元素是同一类事物,我们选择去吃饭的地方都是餐馆;
(4)、得到的结果肯定是正确的;
(5)、通常会涉及到求极值(如最大,最小,等)。
所以最终得到的结论是:并不是所有的问题都可以使用穷举法来求解,只有问题的答案个数不是太多时,并且在可以接受的时间内得到结果时才可以使用穷举法。
2、穷举法的优点:
(1)、算法简单,比较直观,易于理解;
(2)、最后一定会得到一个结果。
(3)、从全局观点使用穷举法,计算量容易过大,如果在局部地方使用穷举法,计算的效率会显著提高。
3、穷举法的缺点:
(1)、由于穷举法的特点,将可供选择的元素逐一的进行筛选,也就造成了程序在运行的时间比较长;
(2)、当可供选择的答案过大时,可能导致返回结果的时间太长或者其他问题;
4、穷举法的基本思路:
(1)、确定穷举对象,穷举范围和判定条件;
(2)、逐一枚举可能的解,验证是否时问题的解。
5、求解方法和步骤:
(1)、确定可选择的范围内的所有解的集合;
(2)、抽象出答案包含的参数,确定每个参数的数据范围;
(3)、对解的每个参数的数据范围进行循环遍历;
(4)、对每次的循环,根据题意给定的范围判断是否为解;
(5)、优化程序、以便缩小搜索范围,提高程序的效率。
6、穷举法的列举方式:
(1)顺序列举: 是指答案范围内的各种情况很容易与自然数对应甚至就是自然数,可以按自然数的变化顺序去列举。
(2)排列列举: 有时答案的数据形式是一组数的排列,列举出所有答案所在范围内的排列,为排列列举。
(3)组合列举: 当答案的数据形式为一些元素的组合时,往往需要用组合列举。组合是无序的。
举例:百钱百鸡问题用穷举法来求解:
百钱买百鸡这个数学问题的数学方程可列出如下:
Cock+Hen+Chick=100
Cock*5+Hen*3+Chick/3=100
显然这是个不定方程,适用于穷举法求解。依次取Cock值域中的一个值,然后求其他两个数,满足条件就是解。那么该如何用程序语言来完成呢。
百钱买百鸡 代码块最终终端打印的结果为:
打印结果前面已经提到,由于穷举法的特点,当问题的可选范围变大时,循环嵌套的层数越多,计算效率就相对的变低了,此时作为程序员就要对算法做出优化;
如:上面的计算百钱买百鸡的代码中,循环体执行了21*34*101 = 72114次,那么近过分析,从数学的角度来考虑这个问题:根据题意,5x+3y=z/3=100, x+y+z=100可以消去一个未知数z,最终得到:7x+4y=100, x+y+z=100,于是只要枚举公鸡x(最多只有14只),最终就可以求出y和z,可用程序表示:
百钱买百鸡 代码块优化后的代码,只循环了14次,此时的效率明显提升了,由于电脑的运行速度相当快,其实我并没有什么明显的感觉,但是这个问题被无限放大,比如循环次数达到了千万次时优化就会有很明显的效果了,那么总结一下如何做出优化:
7、优化策略:
(1)、减少循环次数;
(2)、合理选择循环的变量;
(3)、注意枚举的顺序;
(4)、减少判断每种情况的时间。
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