MIT 线性代数 11.矩阵空间秩1矩阵小世界图

作者: 光能蜗牛 | 来源:发表于2022-05-23 11:25 被阅读0次

MIT 线性代数 11.矩阵空间秩1矩阵小世界图
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矩阵空间

如果只考虑矩阵之间的加减，以及矩阵的数乘，那么矩阵本身可以算是一个向量空间
举个实际点的例子
比如 $M_{3\times3}$ 矩阵，他的基一共有 $9$ 个，即维度为 $9$

$\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 1&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}$

由这九个基可以构成所有的 $3\times3$ 矩阵

上三角矩阵的基

注意上三角矩阵只要求对角线下方全部为零，对角线上的数字不做要求
如下所示，上三角矩阵的基有 $6$ 个，维度为 $6$

$\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}$

对称矩阵的基

如下所示，对称矩阵的基有 $6$ 个，维度为 $6$

$\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 1&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0\\ \end{bmatrix}$

对称矩阵和上三角矩阵的交集是对角矩阵

观察上面两个集合，可知交集为对角矩阵，对角矩阵的基的个数是 $3$ ，于是维度为 $3$

$\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}$

对称矩阵和上三角矩阵的和是全体矩阵

他的基个数如下图，维度是 $9$

$\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 1&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0\\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}$

这些基的最简化形式

$\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 1&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}$

我们注意一些结论：
(上三角矩阵 $\cap$ 对称矩阵)的维度 $+$ (上三角矩阵 $\sqcup$ 对称矩阵)的维度 $=3+9=12$
上三角矩阵的维度 $+$ 对称矩阵的维度 $=6+6=12$

秩1矩阵

构造一个秩1矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1&4&5\\ 2&8&10\\ \end{bmatrix}$

可以发现任何一个秩1矩阵都可以写成如下形式

$A=\begin{bmatrix} 1&4&5\\ 2&8&10\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&4&5\\ \end{bmatrix}$

秩1就像构成其他矩阵的积木一样，用来搭建任意的矩阵
（这里可以回顾前面展示的 $3\times3$ 矩阵的基，可以知道 $3\times3$ 矩阵的每个基都是一个秩1矩阵）

小世界图

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