立体几何复盘：体积公式的多种用法

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-04-09 23:34 被阅读0次

折纸：2018年文数全国卷A题18

如图，在平行四边形 $ABCM$ 中， $AB=AC=3$ ， $\angle ACM=90°$ .以 $AC$ 为折痕将 $\triangle ACM$ 折起，使点 $M$ 到达点 $D$ 的位置，且 $AB \perp DA.$
（1）证明∶平面 $ACD \perp$ 平面 $ABC$ ;
（2） $Q$ 为线段 $AD$ 上一点， $P$ 为线段 $BC$ 上一点，且 $BP=DQ=\dfrac{2}{3}DA$ ，求三棱锥 $Q-ABP$ 的体积.

2018年文数全国卷A

【破解攻略】

$DC,CA,AB$ 三线段间两两垂直，所以，四面体 $D-ABC$ 的体积是容易算出的；

$D-ABC, Q-ABC$ 是共高的四面体；

$Q-ABC, Q-PAB$ 是共高的四面体；

体积比可以转化为面积比；面积比可以转化为线段比；

此题得破.

详情请看：2018年文数全国卷A题18

三棱柱：2012年文数全国卷题19

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，侧棱垂直底面， $\angle ACB=90°, AC=BC=\dfrac{1}{2} AA_1, D$ 是棱 $AA_1$ 的中点.
（I）证明∶平面 $BDC_1 \perp$ 平面 $BDC$ ;
（Ⅱ）平面 $BDC_1$ 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

2012年文数全国卷

【破解攻略】

$C_1D, DC, CB$ 三条线段相互垂直，所以，四面体 $B-DCC_1$ 的体积是较容易求出的；

求出 $V_{B-DCC_1}, V_{D-ABC}$ ，则本题得破.

参考答案：2012年文数题19

2014年文数全国卷B18

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形， $PA\perp$ 平面 $ABCD$ ， $E$ 为 $PD$ 的中点.
（Ⅰ）证明∶ $PB$ // 平面 $AEC$ ;
（Ⅱ）设 $AP=1,\,AD=\sqrt{3}$ ，三棱锥 $P-ABD$ 的体积 $V=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离.

2014年文数全国卷B18

【破解攻略】

体积公式可用于计算距离.

在本题中， $P-ABC,P-ABD$ 是等底等高的四面体，体积相等；

$V_{P-ABC} = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle PBC} \cdot h_{_A}$

求出 $\triangle PBC$ 的面积，就可以算出 $h_{_A}$ ，也就是求 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离.

此题得破.

参考答案：2014年文数全国卷B18

2014年理数全国卷B题18

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形， $PA\perp$ 平面 $ABCD$ ， $E$ 为 $PD$ 的中点.
（Ⅰ）证明∶ $PB$ // 平面 $AEC$ ;
（Ⅱ）设二面角 $D-AE-C$ 为 $60°$ ， $AP=1,AD=\sqrt{3}$ ，求三棱锥 $E-ACD$ 的体积.

2014年理数全国卷B18

【破解攻略】
$E$ 为 $PD$ 的中点， $\Rightarrow \; S_{\triangle EAD} = \dfrac{1}{2} S_{\triangle PAD}$ .

$\Rightarrow\; V_{E-ACD} = \dfrac{1}{2} V_{P-ACD}$

参考答案：2014年理数全国卷B题18

四面体：2009年文数海南卷题18

如图，在三棱锥 $P - ABC$ 中， $\triangle PAB$ 是等边三角形， $\angle PAC= \angle PBC=90°.$
（Ⅰ）证明∶ $AB \perp PC$ ;
（Ⅱ）若 $PC=4$ ，且平面 $PAC \perp$ 平面 $PBC$ ，求三棱锥 $P-ABC$ 的体积.

2009年文数海南卷

【破解攻略】

参考答案：2009年文数海南卷题18

四面体：2017年文数全国卷C题19

如图，四面体 $ABCD$ 中， $\triangle ABC$ 是正三角形， $AD=CD.$
（1）证明： $AC \perp BD$ ；
（2）已知 $\triangle ACD$ 是直角三角形， $AB=BD$ ，若 $E$ 为棱 $BD$ 上与 $D$ 不重合的点，且 $AE \perp EC$ ，求四面体 $ABCE$ 与四面体 $ACDE$ 的体积比.

2017年文数全国卷C

【破解攻略】

参考答案：2017年文科数学全国卷C题19

四面体：2011年文数全国卷题18

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形， $\angle DAB=60°,AB=2 AD$ ， $PD \perp$ 底面 $ABCD.$
（I）证明∶ $PA \perp BD$ ;
（Ⅱ）设 $PD=AD=1$ ，求棱锥 $D-PBC$ 的高.

2011年文数全国卷

【破解攻略】

参考答案：2011年文科数学全国卷题18

四面体：2018年文数全国卷B题19

如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中， $AB=BC=2 \sqrt{2}$ ， $PA=PB=PC=AC=4$ ， $O$ 为 $AC$ 的中点.
（1）证明∶ $PO \perp$ 平面 $ABC$ ;
（2）若点 $M$ 在棱 $BC$ 上，且 $MC=2MB$ ，求点 $C$ 到平面 $POM$ 的距离.

2018年文数全国卷B

【破解攻略】

参考答案：2017年文数全国卷B题18

四面体：2018年理数全国卷B题20

如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中， $AB=BC=2 \sqrt{2}$ ， $PA=PB=PC=AC=4$ ， $O$ 为 $AC$ 的中点.
（1）证明∶ $PO \perp$ 平面 $ABC$ ;
（2）若点 $M$ 在棱 $BC$ 上，且二面角 $M-PA-C$ 为 $30°$ ，求 $PC$ 与平面 $PAM$ 所成角的正弦值.

2018年理数全国卷B

【破解攻略】

参考答案：2018年理数全国卷B题20

四面体：2016年文数全国卷A题18

如图，已知正三棱锥 $P-ABC$ 的侧面是直角三角形， $PA=6$ . 顶点 $P$ 在平面 $ABC$ 内的正投影为点 $D，D$ 在平面 $PAB$ 内的正投影为点 $E$ ，连接 $PE$ 并延长交 $AB$ 于点 $G.$
（Ⅰ）证明∶ $G$ 是 $AB$ 的中点;
（Ⅱ）在图中作出点E在平面 PAC 内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体 $PDEF$ 的体积.

2016年文数全国卷A

【破解攻略】

参考答案：2016年文数全国卷A题18

四面体：2015年文数全国卷A题18

如图，四边形 $ABCD$ 为菱形， $G$ 为 $AC$ 与 $BD$ 的交点， $BE \perp$ 平面 $ABCD$ .
（Ⅰ）证明∶平面 $AEC \perp$ 平面 $BED$ ;
（Ⅱ）若 $\angle ABC=120°，AE \perp EC$ ，三棱锥 $E-ACD$ 的体积为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ ，求该三棱锥的侧面积.

2015年文数全国卷A

提示：这个题用几何方法，有两种思路。注意其中的四面体与2016年文数全国卷A的关系。

【破解攻略】

参考答案：2015年文科数学全国卷A18

四面体：2019年全国卷A题12

已知三棱锥 $P-ABC$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上， $PA=PB=PC$ ， $\triangle ABC$ 是边长为 2 的正三角形， $E，F$ 分别是 $PA，AB$ 的中点， $\angle CEF=90°$ ，则球 $O$ 的体积为
$A.8\sqrt{6}\pi \qquad B.4\sqrt{6}\pi \qquad C.2\sqrt{6}\pi \qquad D.\sqrt{6}\pi$

【破解攻略】

参考答案：2019年全国卷A题12~常用四面体之二

折纸：2018年理数全国卷A题18（12分）

如图，四边形 $ABCD$ 为正方形， $E，F$ 分别为 $AD，BC$ 的中点，以 $DF$ 为折痕把 $\triangle DFC$ 折起，使点 $C$ 到达点 $P$ 的位置，且 $PF \perp BF$ .

（1）证明∶平面 $PEF \perp$ 平面 $ABFD$ ;

（2）求 $DP$ 与平面 $ABFD$ 所成角的正弦值.

提示：分别用几何法和向量法解答，并作比较分析。

2018年理数全国卷A

参考答案：2018年理数全国卷A题18：用勾股定理求解

参考答案：2018年理数全国卷A题18：用体积公式求解

三棱柱~菱形：2013年理数全国卷A题18

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $CA=CB,AB=AA_1,\angle BAA_1=60°.$
（I）证明∶ $AB \perp A_1C$ ;
（Ⅱ）若平面 $ABC \perp$ 平面 $AA_1B_1B$ , $AB=CB$ ，求直线 $A_1C$ 与平面 $BB_1C_1C$ 所成角的正弦值.

2013年理数全国卷A

提示：第一问与2007年海南卷基于同一题根。

第二问，你应该分别用两种方法解答：几何方法、向量方法。解答完成后，比较一下两种方法的优劣。

这个题对于锻炼空间想象能力大有好处，值得多花一些时间。

参考答案：2013年理数卷A题18：几何法求线面角

三棱柱~菱形：2013年文数全国卷A题19

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $CA=CB,AB=AA_1, \angle BAA_1=60°.$
（Ⅰ）证明∶ $AB \perp A_1C$ ;
（Ⅱ）若 $AB=CB=2, A_1C=\sqrt{6}$ ，求三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的体积.

2013年文数全国卷A

【破解攻略】

提示：本题的第一问，与2007年文数海南卷，基于同一题根。

参考答案：2013年文数卷A题19

三棱柱~菱形：2014年文数全国卷A题19

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，侧面 $BB_1C_1C$ 为菱形， $B_1C$ 的中点为 $O$ ，且 $AO \perp$ 平面 $BB_1C_1C.$
（I）证明∶ $B_1C \perp AB$ ;
（Ⅱ）若 $AC \perp AB_1, \angle CBB_1=60°, BC=1$ ，求三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的高.

2014年文数全国卷A

【破解攻略】

参考答案：2014年文数全国卷A题19

四棱柱：2019年文数全国卷B题17

如图，长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的底面 $ABCD$ 是正方形，点 $E$ 在棱 $AA_1$ 上， $BE \perp EC_1.$
（1）证明∶ $BE \perp$ 平面 $EB_1C_1$ ;
（2）若 $AE=A_1E, AB=3$ ，求四棱锥 $E-BB_1C_1C$ 的体积.

2019年文数全国卷B

【破解攻略】

参考答案：2019年文数全国卷B题17

四棱柱：2019年文数全国卷A题19

如图，直四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的底面是菱形， $AA_1=4, AB=2，\angle BAD=60°$ ， $E，M，N$ 分别是 $BC,BB_1,A_1D$ 的中点.
（1）证明∶ $MN//$ 平面 $C_1DE$ ;
（2）求点 $C$ 到平面 $C_1DE$ 的距离.

2019年文数全国卷A

【破解攻略】

参考答案：2019年文数全国卷A题19

四棱锥：2010年理数全国卷题18（12分）

如图，已知四棱锥 $P-ABCD$ 的底面为等腰梯形， $AB//CD，AC \perp BD$ ，垂足为 $H$ ， $PH$ 是四棱锥的高， $E$ 为 $AD$ 中点.
（1）证明∶ $PE \perp BC$ ;
（2）若 $\angle APB=\angle ADB =60°$ ，求直线 $PA$ 与平面 $PEH$ 所成角的正弦值.

2010年理数全国卷

【破解攻略】

参考答案：2010年理数全国卷题18

四棱锥：2010年文数全国卷题18（12分）

如图，已知四棱锥 $P-ABCD$ 的底面为等腰梯形， $AB//CD，AC \perp BD$ ，垂足为 $H$ ， $PH$ 是四棱锥的高.
（1）证明∶平面 $PAC \perp$ 平面 $PBD$ ;
（2）若 $AB=\sqrt{6},\; \angle APB=\angle ADB =60°$ ，求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积.

2010年文数全国卷

【破解攻略】

参考答案：2010年文数全国卷题18

四棱锥：2011年理数北京卷题16（14分）

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PA \perp$ 平面 $ABCD$ ，底面 $ABCD$ 是菱形， $AB=2, \angle BAD=60°.$
（Ⅰ）求证∶ $BD \perp$ 平面 $PAC$ ;
（Ⅱ）若 $PA=AB$ ，求 $PB$ 与 $AC$ 所成角的余弦值;
（Ⅲ）当平面 $PBC$ 与平面 $PDC$ 垂直时，求 $PA$ 的长.

2011年理数北京卷

【破解攻略】

四棱锥：2012年理数大纲卷题18（12 分）

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为菱形， $PA \perp$ 底面 $ABCD$ ， $AC=2\sqrt{2}，PA=2$ ， $E$ 是 $PC$ 上的一点， $PE=2EC.$
（Ⅰ）证明∶ $PC \perp$ 平面 $BED$ ;
（Ⅱ）设二面角 $A-PB-C$ 为 $90°$ ，求 $PD$ 与平面 $PBC$ 所成角的大小.

2012年理数大纲卷

【破解攻略】

参考答案：2012年理数大纲卷题18

四棱锥：2016年理数全国卷C题19（12分）

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PA\perp$ 底面 $ABCD，AD//BC$ , $AB=AD=AC=3$ , $PA=BC=4$ ， $M$ 为线段 $AD$ 上一点， $AM =2MD$ ， $N$ 为 $PC$ 的中点.
（I）证明 $MN$ //平面 $PAB$ ;
（Ⅱ）求直线 $AN$ 与平面 $PMN$ 所成角的正弦值.

2016年理数全国卷C

【破解攻略】

参考答案：2016年理数全国卷C题19

四棱锥：2016年文数全国卷C题19（12分）

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PA\perp$ 底面 $ABCD，AD//BC$ , $AB=AD=AC=3$ , $PA=BC=4$ ， $M$ 为线段 $AD$ 上一点， $AM =2MD$ ， $N$ 为 $PC$ 的中点.
（I）证明 $MN //$ 平面 $PAB$ ;
（Ⅱ）求四面体 $N-BCM$ 的体积.

2016年文数全国卷C

【破解攻略】

参考答案：2016年文数全国卷C题19

四棱锥：2017年文数全国卷A题18 （12 分）

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中， $AB//CD$ ，且 $\angle BAP= \angle CDP=90°.$
（1）证明∶平面 $PAB \perp$ 平面 $PAD$ ;
（2）若 $PA=PD=AB=DC，\angle APD=90°$ ，且四棱锥 $P-ABCD$ 的体积为 $\dfrac{8}{3}$ ，求该四棱锥的侧面积.

2017年文数全国卷A

【破解攻略】

参考答案：2017年全国卷A题18

四棱锥：2017年文数全国卷B题18（12分）

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，侧面 $PAD$ 为等边三角形且垂直于底面 $ABCD$ ， $AB=BC=\dfrac{1}{2}AD，\angle BAD=\angle ABC=90°.$
（1）证明∶直线 $BC$ // 平面 $PAD$ ;
（2）若 $\triangle PCD$ 的面积为 $2\sqrt{7}$ ，求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积.

2017年文数全国卷B

【破解攻略】

参考答案：2017年文数全国卷B题18

四棱锥：2016年理数北京卷题17

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，平面 $PAD \perp$ 平面 $ABCD$ ， $PA \perp PD, PA=PD$ , $AB \perp AD$ , $AB=1,AD=2,AC=CD=\sqrt{5}$ .

2016年理数北京卷题17

（Ⅰ）求证∶ $PD \perp$ 平面 $PAB$ ;
（Ⅱ）求直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值;
（Ⅲ）在棱 $PA$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $BM$ // 平面 $PCD$ ？若存在，求 $\dfrac{AM}{AP}$ 的值；若不存在，说明理由.

参考答案：2016年理数北京卷题17

长方体类问题

长方体：2008年文数海南卷题18（ 12 分）

如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位∶cm）. （I）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;

（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积;

（Ⅲ）在所给直观图中连结 $BC'$ ，证明∶ $BC'$ //面 $EFG.$

2008年文数海南卷

三棱柱：2013年文数全国卷B题18（12分）

如图，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $D,E$ 分别是 $AB,BB_1$ 的中点.
（I）证明∶ $BC_1$ //平面 $A_1CD$ ;
（Ⅱ）设 $AA_1=AC=CB=2, AB=2\sqrt{2}$ ，求三棱锥 $C-A_1DE$ 的体积.

2013年文数全国卷B

【破解攻略】

参考答案：2013年文数全国卷B题18

折纸：2016年文数全国卷B题19

如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ，点 $E，F$ 分别在 $AD,CD$ 上， $AE=CF,EF$ 交 $BD$ 于点 $H$ . 将 $\triangle DEF$ 沿 $EF$ 折到 $\triangle D'EF$ 的位置.
（I）证明∶ $AC \perp HD'$ ;
（Ⅱ）若 $AB=5,AC=6,AE=\dfrac {5}{4}, OD'=2\sqrt{2}$ ，求五棱锥 $D'-ABCFE$ 的体积.