均匀静止理想流体小振幅波连续性方程

作者: itkkanae | 来源:发表于2020-04-17 12:41 被阅读0次

现有一物体，密度为 $\rho=\rho(x,y,z,t)$ ，在一定作用下产生运动，流速为 $\overset{\rightarrow}{u}=u_{x}\overset{\rightarrow}{i}+u_{y}\overset{\rightarrow}{j}+u_{z}\overset{\rightarrow}{k}$

分析上图所示微元，根据质量守恒定律，质量变化量 $\Delta M$ 等于各方向流入质量之和，首先考虑x方向上AB面的质量流入情况：
$M_{A}=dydz(\rho u_{x}-\frac{\partial\rho u_{x}}{\partial x}\frac{1}{2}dx)dt$

$M_{B}=-dydz(\rho u_{x}+\frac{\partial\rho u_{x}}{\partial x}\frac{1}{2}dx)dt$

其中 $\mp\frac{\partial\rho u_{x}}{\partial x}\frac{1}{2}dx$ 为x方向上AB面相对于中点质量流通密度的变化量，上两式相加得到x方向上质量变化量：
$\Delta M_{x}=-\frac{\partial\rho u_{x}}{\partial x}dxdydzdt=-\frac{\partial\rho u_{x}}{\partial x}dVdt$

各向相加得质量变化量：
$\Delta M=-(\frac{\partial\rho u_{x}}{\partial x}+\frac{\partial\rho u_{y}}{\partial y}+\frac{\partial\rho u_{z}}{\partial z})dVdt$

将质量变化量替换为密度变化量表示：
$\Delta\rho dV=-(\frac{\partial\rho u_{x}}{\partial x}+\frac{\partial\rho u_{y}}{\partial y}+\frac{\partial\rho u_{z}}{\partial z})dVdt$

$\frac{\Delta\rho}{dt}=-(\frac{\partial\rho u_{x}}{\partial x}+\frac{\partial\rho u_{y}}{\partial y}+\frac{\partial\rho u_{z}}{\partial z})$

$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-(\frac{\partial}{\partial x}\overset{\rightarrow}{i}+\frac{\partial}{\partial y}\overset{\rightarrow}{j}+\frac{\partial}{\partial z}\overset{\rightarrow}{k})(\rho\overset{\rightarrow}{u})$

将右边替换为散度或哈密顿算子的表达形式得连续性方程：
$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-div(\rho\overset{\rightarrow}{u})$

$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\bigtriangledown(\rho\overset{\rightarrow}{u})$

均匀静止理想流体中小振幅波的连续性方程
将流速与密度用初值加偏移量的形式表示：
$\rho=\rho_{0}+\Delta\rho$

$\overset{\rightarrow}{u}=\overset{\rightarrow}{u}_{0}+\overset{\rightarrow}{\mu}$

其中，均匀表示 $\rho_{0}$ 为常数，静止表示 $u_{0}=0$ ，带入连续性方程得：
$\frac{\partial(\rho_{0}+\Delta\rho_{})}{\partial t}=-\bigtriangledown(\rho_{0}\overset{\rightarrow}{\mu}+\Delta\rho\overset{\rightarrow}{\mu})$

$\frac{\partial\Delta\rho}{\partial t}=-(\rho_{0}\bigtriangledown\overset{\rightarrow}{\mu}+\overset{\rightarrow}{\mu}\bigtriangledown\Delta\rho+\Delta\rho\bigtriangledown\overset{\rightarrow}{\mu})$

小振幅波表示流速、运动引起的密度变化量和两者的一阶导为一阶小量，观察上式可知， $\rho_{0}\bigtriangledown\overset{\rightarrow}{\mu}$ 为一阶小量， $\overset{\rightarrow}{\mu}\bigtriangledown\Delta\rho$ 为二阶小量， $\Delta\rho\bigtriangledown\overset{\rightarrow}{\mu}$ 为二阶小量，因此后两项相对于第一项可以忽略不记，得：
$\frac{\partial\Delta\rho}{\partial t}=-\rho_{0}\bigtriangledown\overset{\rightarrow}{\mu}$

均匀静止理想流体小振幅波连续性方程

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