均匀静止理想流体小振幅波运动方程

作者: itkkanae | 来源:发表于2020-04-20 20:39 被阅读0次

还是熟悉的图，假设各时空压强满足 $p=p(x,y,z,t)$

根据压强分析上图所示微元受力情况，首先分析x方向上AB面所受压力：
$\overset{\rightarrow}{F_{A}}=dydz(p-\frac{\partial p}{\partial x}\frac{1}{2}dx)\overset{\rightarrow}{i}$

$\overset{\rightarrow}{F_{B}}=-dydz(p+\frac{\partial p}{\partial x}\frac{1}{2}dx)\overset{\rightarrow}{i}$

得到x方向上所受到的力：
$\overset{\rightarrow}{F_{x}}=-dxdydz\frac{\partial p}{\partial x}\overset{\rightarrow}{i}=-dV\frac{\partial p}{\partial x}\overset{\rightarrow}{i}$

个方向上受到的合力：
$\overset{\rightarrow}{F}=-dV(\frac{\partial p}{\partial x}\overset{\rightarrow}{i}+\frac{\partial p}{\partial y}\overset{\rightarrow}{i}+\frac{\partial p}{\partial z}\overset{\rightarrow}{i})=-dVgradp=-dV\bigtriangledown p$

代入牛二定律得：
$m\overset{\rightarrow}{a}=-dV\bigtriangledown p$

$\rho\frac{d\overset{\rightarrow}{u}}{dt}=-\bigtriangledown p$

根据均匀静止理想流体小振幅波的条件 $p_{0}$ 、 $\rho_{0}$ 为常数， $u_{0}$ 为0：
$p=p_{0}+\Delta p$

$u=u_{0}+\mu$

$\rho=\rho_{0}+\Delta\rho$

代入条件得：
$(\rho_{0}+\Delta\rho)\frac{d\overset{\rightarrow}{\mu}}{dt}=-\bigtriangledown\Delta p$

$(\rho_{0}+\Delta\rho)(\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial t}+\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial z}\frac{dz}{dt})=-\bigtriangledown\Delta p$

由小振幅波的条件可知， $\Delta\rho$ 、 $\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial t}$ 、 $\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial x}$ 、 $\frac{dx}{dt}$ 等均为一阶小量，方程最后化为：
$\rho_{0}\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial t}+...=-\bigtriangledown\Delta p$

其中省略部分包含二阶和三阶小量，相较于一阶小量 $\rho_{0}\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial t}$ 可以忽略不计，因此运动方程化为：
$\rho_{0}\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial t}=-\bigtriangledown\Delta p$

另外，对方程两端时间积分得欧拉方程（流体力学）：

$\overset{\rightarrow}{\mu}=-\frac{1}{\rho_{0}}\int\bigtriangledown\Delta pdt$

均匀静止理想流体小振幅波运动方程

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