利用扩展的欧几里得算法求逆元

首先说一下逆元的定义。
存在一个数a使得ax对y进行取余运算，得到的值是一，则成为a是x的逆元。在数学中记做
a * x = 1(mod p)
例如x = 4，y = 11，3x = 1(mod y)，34=12,12 mod 11 = 1,3就是x的逆元。
对于求逆元这一操作在计算机领域主要用于非对称加密，如我们常见的RSA加密算法等。
那应该求得这个逆元呢，我们知道，再求两个数的最大公约数的时候可以用欧几里得算法。
在欧几里得算法中，通过辗转相除，当余数为0的时候最后的除数就是两个数的最大公约数。
而在其扩展算法中，我们已知两个数的最大公约数，我们已知 ax = 1(mod p),
展开就是 ax mod p = 1，首先我们先求 p = x1 * a + p1，然后p = a，a = p1，迭代下去
知道pi = 1（i表示出了i次）为之，然后就可以得出 1 = p - xi * a，此时的a和p已经不是我们初始的a和p了，我们需要往前推，推到 1= yp + xa 为止，此时得出的x就是a的逆元，当然如果逆元x为负数，或者比p大，要对其就行取余操作。
举个例子 11 = 1(mod 20)求11的逆元
20 = 111 + 9 此时x1 = 1， a = 11，p = 20，p1 = 9，执行p = a，a = p1
11 = 19 + 2 x2 = 1，a = 9，p2 = 2。
9 = 24 + 1 p3 = 1，
1 = 9-24。
从上述式子中可以得知 9 = 20-11
1 = 20-11-24
同时 2 = 11 -9
1 = 20 -11 -4(11-9)
已知 9 = 20 - 11
1 = 20 -11 -4(11-(20-11))
1 = 20 -11 -4(11-20+11)
合并同类项得
1 = 520 - 911
1 = y20 + x * 11
x为a的逆元 x = -9
x对p取余，x = 11
验证 11 * 11 = 121，121 mod 20 = 6 --- 1
到此 计算结束