支持向量机基本概念
支持向量机的基本想法：
从几何角度，对于线性可分数据集，支持向量机就是找位于两类训练样本"正中间"（或者说找距离正负样本都最远）的超平面，相比于感知机，其解是唯一的，且不偏不倚，泛化性能更好（原因是这个超平面对训练样本局部扰动的"容忍性“最好。）。如下图，最粗的那条直线。
存在多个划分超平面将两类训练样本分开
n维超平面有几个特性：(超平面,其中w和x的维度相同)
超平面方程不唯一
法向量w和位移项b确定一个唯一超平面
法向量w垂直于超平面(缩放w,b时，若缩放倍数为负数会改变法向量方向)
法向量w指向的那一半空间为正空间，另一半为负空间
任意点x到超平面的距离公式为
几何间隔：
假设超平面（w,b）能将训练样本正确分类，即对于,若
,则有
若
，则有w^Tx+b<0，如下
6.3
如图6.2所示,距离超平面最近的这几个训练样本点使式(6.3)的等号成立,它们被称为“支持向量”(support vector)，两个异类支持向量到超平面的距离之和为
被称为"间隔"
图6.2 支持向量与间隔
那么到此，支持向量机的基本概念已经解说完毕。
支持向量机过程
支持向量机的模型策略就是：给定线性可分数据集X，支持向量机模型希望求得数据集X关于超平面的几何间隔γ达到最大的那个超平面，然后套上一个sign函数实现分类功能。那如何求w和b？
以下是支持向量机的优化：
支持向量机的主问题：
欲找到具有"最大间隔" 的划分超平面，也就是要找到能满足式(6.3) 中约束的参数w 和b ， 使得γ 最大，即
6.5
显然,为了最大化间隔,仅需最大化|，这等价于最小化
.于是,式(6.5)可重写为
6.6
这就是支持向量机(Support Vector Machine,简称SVM)的基本型.
支持向量机的拉格朗日函数和对偶函数：
备注：对偶函数是拉格朗日函数的最小值。而对偶函数实际上是求关于的最大值。
关于公式6.11，我们用SMO来解决。
软间隔
以上模型是解决线性可分的数据集，但实际中，更多解决线性不可分的数据集，因此我们允许向量机在一些样本犯点错。为此引入了”软间隔“概念。如下图.
图6.4软间隔示意图.红色圈出了一些不满足约束的样本
从数学角度来说，软间隔就是允许部分样本（但要尽可能少〉不满足下式中的约束条件
因此，可以将必须严格执行的约束条件转化为具有一定灵活性的“损失"，合格的损失函数要求如下:
(1)当满足约束条件时，损失为0
(2)当不满足约束条件时，损失不为0，
(3)(可选)当不满足约束条件时，损失与其违反约束条件的程度成正比
只有满足以上要求，才能保证在最小化 (min)损失的过程中,保证不满足约束条件的样本尽可能的少。
于是，我们的优化目标写为：
6.29
其中C>0是一个常数, 是“0/1损失函数”，下面的
6.30
C用来调节损失的权重，显然当C→＋oo时，会迫使所有样本的损失为0，进而退化为严格执行的约束条件，退化为硬间隔，因此,本式子可以看作支持向量机的一般化形式。总之，C越大，表示第二项影响值越小，样本犯错很难，C越小，表示第二项影响值越大，更容易允许样本犯错。
然而非凸、非连续,数学性质不太好,使得式(6.29)不易直接求解.于是，人们通常用其他一些函数来代替
，称为“替代损失”(surrogate loss).替代损失函数一般具有较好的数学性质,如它们通常是凸的连续函数且是
的上界.图6.5给出了三种常用的替代损失函数:
图6.5 三种常见的替代损失函数: hinge损失、指数损失、对率损失
若采用hinge损失,则式(6.29)变成
6.29
引入松弛变量，上述优化问题便和下述优化问题等价。
，理解损失值
6.35,
通过拉格朗日乘子法可得到式(6.35)的拉格朗日函数
6.36
其中是拉格朗日乘子.
支持向量回归
对样本(x, y)，传统回归模型通常直接基于模型输出f(x)与真实输出y之间的差别来计算损失,当且仅当f(x)与y 完全相同时,损失才为零.
与此不同，支持向量回归(Support Vector Regression,简称SVR)假设我们能容忍f(x)与y之间最多有的偏差，即仅当f(x)与y之间的差别绝对值大于
时才计算损失.如图6.6所示,这相当于以f(x)为中心,构建了一个宽度为2
的间隔带,若训练样本落入此间隔带,则认为是被预测正确的.
图6.6支持向量回归示意图.红色显示出于是,SVR问题可形式化为
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