2.16 以\delta 函数为势能的TISE散射态求解 Sca

https://www.youtube.com/watch?v=wsYqt-jKDvI&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=30&t=0s

前言

上一节讲的是波函数的边界求解注意事项，这节主要讲散射态

1.边界条件

• 假设新的势函数如下：
  
  

  image.png

• 束缚态
  当能量E<0时，波函数如上图蓝线所示，此时波函数为可归一化连续，束缚态。

• 散射态（E>0)
  当能量E远大于0的时候，相当于自由粒子，波函数向x=0两侧无限延伸，非可归一化，散射态。如何求解此时的波函数呢？

  • 以x=0为边界，可以先为边界两侧各定义一种波函数的通解，然后处理交界部分：
  • 当时，
    此时可得到薛定谔方程如下（其中E>0)：
    
    通解如下：
    

  

  由上节内容得到的结论：可归一化的波函数一定是连续的
  所以：
  

• 在边界处的情况分析？
  

  • 其中
    对方程两边同时积分，积分上下限为
    

  • 其中等式右边

  • 此时，结合可以得到如下方程：
    

  • 根据上述两通解，可以分别对x=0处求导：
    
    

  结合上述三条公式可得：
  
  化简得到：
  

2. 总结

• 综上所示，目前得到如下两个方程，四个未知变量(A,B,C,D)
  

• 注意咯：
  

  image.png

• 再注意咯：如果我们假设初始条件是波从左边向右边传播。那么就定义了G=0，A为入射波，那么经过简化可以得到如下公式。

  • 
  • 

• 反射和透射
  A为入射波，B为反射波，F为投射波
  即：
  
  
  

  • 将带入上述公式可得：
    
    

• 如何理解呢？
  当能量E增加，反射系数R减小，透射系数T增加，说明随着能量增加粒子透过x=0的概率增加。

3.Delta 函数势垒

• 针对以下两种势垒

  
  image.png

• 经典力学得出的结论是：
  
  

• QM
  根据公式发现R和T中a为平方形式，所以无论是a<0,or a>0,都是等价的。这就是隧穿效应。

• 举例，对于扫描隧穿显微镜，

  
  image.png