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散射 Scattering Notes

散射 Scattering Notes

作者: 凝聚态物理 | 来源:发表于2018-11-17 10:40 被阅读0次

    散射

    Sujin

    散射

    scattering

    模型

    从远处动量为K的粒子经过散射中心A附近,发生偏转

    A的质量\gg 入射粒子

    忽略散射中心的影响;
    入射粒子散射后方向改变,动量大小不变(弹性散射);

    等效模型:

    • 相互作用区域很小,A附近,入射粒子初态和末态均为自由粒子;(等效为空间小区域内相互作用导致的粒子从一个自由态到另一个自由态的跃迁(初末态能量相同,并且是连续谱);即等效为“跃迁概率“问题。

    入射粒子

    粒子流密度:单位时间通过单位面积的入射粒子数;记为N

    从波动理论出发

    • 入射波

    \boldsymbol{\psi_1=e^{ikz}}, in which, k=\sqrt{\frac{2\mu E}{\hbar^2}}, v=\frac{\hbar k}{\mu}

    入射波的概率流密度

    \boldsymbol{J=\frac{\partial}{\partial t}(\psi^*_1\psi_1)=\frac{i\hbar}{\mu}[\psi_1 \frac{\partial \psi^*_1}{\partial z}-\psi^*_1 \frac{\partial \psi_1}{\partial z}]}
    \boldsymbol{=\frac{i\hbar}{\mu}[-ik\psi_1 \psi_1^*-ik\psi_1^*\psi_1]=\frac{\hbar k}{\mu}=v}

    结论: \psi_1=e^{ikz}描述的是单位体积内只有一个粒子入射。

    散射
    相互作用后,沿着不同的散射角(\theta,\phi)出射的粒子数.

    dn \propto N \frac{dS}{r^2}=N d\Omega

    dn=q(\theta,\phi)Nd\Omega

    q(\theta,\phi) 反映了入射粒子能量和散射中心性质-微分散射截面;

    总的截面为Q=\int q(\theta,\varphi) d\Omega=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} q(\theta,\varphi)sin\theta d\theta d\varphi

    单位时间被散射到立体角d\Omega的粒子数,等效为一个截面

    如何从SE计算截面(截面可通过实验测定),从而与实验值比较,研究粒子之间的相互作用的性质

    散射波:(看做球面波,实验观测是在远离A的地方)

    \psi_2=f(\theta,\varphi) \frac{e^{ikr}}{r},其中f(\theta,\varphi)为散射幅度;

    散射波的概率密度

    \boldsymbol{J_r=\frac{i\hbar}{2\mu}[\psi_2 \frac{\partial \psi^*_2}{\partial r}-\psi^*_2 \frac{\partial \psi_2}{\partial r}]}>\boldsymbol{=\frac{i\hbar}{2\mu}|f(\theta,\varphi)|^2 [-\frac{ik}{r^2}-\frac{ik}{r^2}]=\frac{v}{r^2}|f(\theta,\varphi)|^2}

    表示单位时间穿过(\theta,\varphi)的单位面积的粒子数.

    讨论穿过面积dS的粒子数:

    dn=J_r dS=\frac{v}{r^2}|f(\theta,\varphi)|^2 dS
    =v|f(\theta,\varphi)|^2d\Omega=N|f(\theta,\varphi)|^2

    根据微分截面的定义式 \boldsymbol{dn=Nq(\theta,\varphi)d\Omega}

    \boldsymbol{q(\theta,\varphi)=|f(\theta,\varphi)|^2}

    结论:散射截面由散射波的振幅决定。

    分波法

    考虑一个相互作用势为中心力场 U(r)
    SE:

    \boldsymbol{ \frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 \psi+U(r)\psi=E\psi}

    k^2=\frac{2\mu E}{\hbar^2}, V(r)=\frac{2\mu}{\hbar^2} U(r) ,\lim_{r\to\infty}U(r)=0

    化简为: \boldsymbol{ \nabla^2 \psi+[k^2-V(r)]\psi=0}

    这个模型的边界条件(求解上述SE应该得到满足下面边界条件的波函数)
    \boldsymbol{ \psi\xrightarrow{r\to\infty}\psi_1+\psi_2=e^{ikz}+f(\theta,\varphi)\frac{ikz}{r} }

    结论:中心力场的散射方法:求解Schrodinger方程,与上式比较,求出散射振幅(散射截面)

    求解薛定谔方程

    中心力场下,(1)式的解为:

    \psi(r,\theta,\varphi)=\sum_{l,m} R_l(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)

    散射具有z轴对称性,此时,\psi, 和f(\theta,\varphi)与\varphi无关。即m=0

    \psi(r,\theta)=\sum_{l}R_l(r)P_l(cos\theta)

    l=0,1,2,……,对应s,p,d分波,每一个分波R_l(r)P_l(cos\theta)都是方程的解。

    下面,只讨论径向方程R_l(r)(勒让德函数P_l(cos\theta)是已知的)。

    \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR_l(r)}{dr})+[k^2-V(r)-\frac{l(l+1)}{r^2}]\cdot R_l(r)=0

    R_l(r)=\frac{u_l(r)}{r}

    • \frac{d^2 u_l(r)}{dr^2}+[k^2-V(r)-\frac{l(l+1)}{r^2}] u_l(r)=0
      ( > u_l(r)的形式依赖于U(r)的形式)

    r\xrightarrow{}\infty

    \frac{d^2u_l(r)}{dr^2}+k^2u_l(r)=0
    一般解的形式为:
    u_l(r)=A_l'sin(kr+\delta_l')
    R_l(r)=\frac{u_l(r)}{r}\xrightarrow{r\to\infty}\frac{A_l'}{r}sin(kr+\delta_l')

    A_l=kA'_l,\delta_l=\delta_l'+\frac{1}{2}l\pi

    R_l(r)\xrightarrow{r\to\infty}\frac{A_l}{kr}sin(kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_l)

    最后散射波的波函数表示为:

    \psi(r,\theta)\xrightarrow{r\to\infty}\sum_l \frac{A_l}{kr}sin(kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_l)P_l(cos\theta)

    再看一下入射波

    将入射平面波e^{ikz}展开为球面波叠加
    e^{ikz}=e^{ikrcos\theta}=\sum_{l}(2l+1) i^l j_l(kr)P_l(cos\theta)

    其中的Bessel函数j_l(kr)的渐近式为

    j_l(kr)\xrightarrow{r\to\infty}=\frac{1}{kr}sin(kr-\frac{l\pi}{2})

    最后,e^{ikz}\xrightarrow{r\to\infty}\sum_l\frac{(2l+1)i^l}{kr}sin(kr-\frac{l\pi}{2})P_l(cos\theta)

    比较一下入射波和散射波
    • 入射波e^{ikr}\xrightarrow{r\to\infty}\sum_l\frac{(2l+1)i^l}{kr}sin(kr-\frac{l\pi}{2})P_l(cos\theta)

    • 散射波\psi(r,\theta)\xrightarrow{r\to\infty}\sum_l \frac{A_l}{kr}sin(kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_l)P_l(cos\theta)

    散射后,第 l个分波

    sin(kr-\frac{l\pi}{2})P_l(cos\theta)\xrightarrow{}sin(kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_l)P_l(cos\theta)
    【散射过程,能量守恒k不变,角动量守恒l不变,势场的作用只改变分波的相位,每一个分波相互独立散射。改变的是径向部分的相位】

    根据中心力场得到散射波的通解的形式,与根据模型我们设定的总的散射波函数等于入射平面波加上散射波,作比较,可求出f(\theta,\varphi)

    散射波:

    \psi(r,\theta)\xrightarrow{r\to\infty}\sum_l \frac{A_l}{kr}sin(kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_l)P_l(cos\theta)

    无穷远处: 入射波+散射球面波:

    \boldsymbol{ \psi\xrightarrow{r\to\infty}\psi_1+\psi_2=e^{ikr}+f(\theta,\varphi)\frac{e^{ikr}}{r} }

    =\sum_l\frac{(2l+1)i^l}{kr}sin(kr-\frac{l\pi}{2})P_l(cos\theta)+f(\theta,\varphi)\frac{e^{ikr}}{r}

    \sum_l \frac{A_l}{kr}sin(kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_l)P_l(cos\theta)

    = \sum_l\frac{(2l+1)i^l}{kr}sin(kr-\frac{l\pi}{2})P_l(cos\theta)+f(\theta,\varphi)\frac{e^{ikr}}{r}
    "两边同乘以2ikr"

    \sum_l 2iA_lsin(kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_l)P_l(cos\theta)

    = \sum_l2i(2l+1)i^lsin(kr-\frac{l\pi}{2})P_l(cos\theta)+2if(\theta,\varphi)ke^{ikr}

    sinx=(e^{ix}-e^{-ix})/2i

    \sum_lA_l(e^{i(kr-l\pi/2+\delta_l)}-e^{-i(kr-l\pi/2+\delta_l)})P_l(cos\theta)

    =\sum_l(2l+1)i^l(e^{i(kr-l\pi/2)}-e^{-i(kr-l\pi/2}))P_l(cos\theta)+2if(\theta,\varphi)ke^{ikr}
    提取e^{ikr}和e^{-ikr}部分

    \sum_l[(A_le^{i(-l\pi/2+\delta_l)}-(2l+1))P_l(cos\theta)-2if(\theta,\varphi)k]e^{ikr}
    +\sum_l[-A_le^{i(\pi/2-\delta_l)}+(2l+1)e^{il\pi/2}]e^{-ikr}=0

    • [A_le^{i(-l\pi/2+\delta_l)}-(2l+1)]P_l(cos\theta)-2if(\theta,\varphi)k=0
    • -A_le^{i(\pi/2-\delta_l)}+(2l+1)e^{il\pi/2}=0

    f(\theta)=\frac{1}{k}\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)P_l(cos\theta)e^{i\delta_l}sin\delta_l

    微分截面表达式为:
    

    q(\theta)=|f(\theta)|^2=\frac{1}{k}|\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)P_l(cos\theta)e^{i\delta_l}sin\delta_l|^2

    分波法:
    

    根据U(r)得到径向方程R_l(r),从R_l(r)\xrightarrow{r\to\infty}\frac{1}{kr}sin(kr-l\pi /2+\delta_l)的形式中,

    可得到相移\delta_l,由相移\delta_l可得到散射振幅f(\theta)和微分截面q(\theta)

    利用勒让德多项式的正交性

    \int_{0}^{\pi}P_l(cos\theta)P_k(cos\theta)sin\theta d\theta=\frac{2}{2l+1}\delta_{lk};

    总的散射截面

    Q=\frac{4\pi}{k^2}\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)sin^2\delta_l=\sum_{l=0}^{\infty}Q_l

    Q_l=\frac{4\pi}{k^2}(2l+1)sin^2\delta_l是第l个分波的总散射截面。

    讨论
    

    入射波e^{ikz}=e^{ikrcos\theta}=\sum_{l}(2l+1) i^l j_l(kr)P_l(cos\theta)

    如果散射中心是半径为a的球形区域,且r=\ell/k>a(即\ell>ka)时, 在小于
    a的区域内,j_\ell(kr)很小。即第\ell个分波受势场影响小,散射可忽略。只需要考虑小于\ell的分波。

    分波法适用条件\ell < ka,当ka<<1时(动能小),l~0,只需要计算\delta_0

    Example:粒子在U(r)=a/r^2下的微分截面。

    • U(r)代入径向方程, \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR_l}{dr})+[k^2-\frac{2\mu}{\hbar^2r^2}\frac{a}{r^2}-\frac{l(l+1)}{r^2}]R_l=0

    R_l=\frac{u_l(r)}{\sqrt{r}}

    • \frac{d^2u_l}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{du_l}{dr}+(k^2-\frac{p^2}{r^2})u_l=0

    p^2=(l+1/2)^2+2\mu a/\hbar^2

    解为 u(r)=AJ_p(kr)+BN_p(kr)

    r\xrightarrow{}0时波函数不发散,B=0
    J_p(kr)\xrightarrow{r\to\infty}\sqrt{\frac{2}{\pi kr}}sin(kr-p\pi /2+\pi /4)

    • sin(kr-p\pi/2+\pi/4)和sin(kr-l\pi /2+\delta_l)比较

    -\frac{p\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=-\frac{l\pi}{2}+\delta_l
    \delta_l=-\frac{\pi}{2}[\sqrt{(l+\frac{1}{2})+\frac{2\mu a}{\hbar^2}}-(l+\frac{1}{2})]

    • 当a较小时

    \delta_l=-\frac{\pi}{2}[\frac{\mu a/\hbar^2}{l+1/2}]
    f(\theta)=\frac{1}{2ki}\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)(e^{2i\delta_l }-1)P_l(cos\theta)
    =\frac{1}{k}\sum_{l=0}^{\infty}[-\frac{\pi}{2}\frac{\mu a/\hbar^2}{(l+1/2)}P_l(cos\theta)
    =-\frac{\pi\mu a}{k\hbar^2} \sum_l P_l(cos\theta)

    Disscuss

    • s分波,l=0,P_0(cos\theta)=1, 得到q(\theta)=|f(\theta)|^2=(\frac{\pi\mu a}{k\hbar^2})^2
    • 角动量较大的入射粒子,由于离开散射中心较远,受靶的作用力小,可略去,相应的分波不需要考虑。

    玻恩近似

    • 使用条件:如果入射粒子动能比散射中心的势能大得多.

    入射粒子从无穷远沿z轴入射(初态,箱归一化)

    \psi_k(r)=\frac{1}{L^{3/2}}e^{i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}}

    末态离开散射中心到达无穷远处,依然是自由粒子

    \psi_k'(r)=\frac{1}{L^{3/2}}e^{i\boldsymbol{k'}\cdot \boldsymbol{r}}

    • 弹性散射下,动量\hbar k跃迁到动量为\hbar k'的末态(能量守恒)。

    |k|=|k'|=k^2

    • 看做跃迁, 微扰跃迁概率公式

    w=\frac{2\pi}{\hbar}|\hat{H}_{kk'}|^2\rho(E_{k'}^{(0)})

    k'为末态;\rho(E_{k'}^{(0)})为末态态密度;

    • 跃迁概率在数量上,表示单位时间内跃迁到d\Omega上的粒子数dn

    dn=Nq(\theta)d\Omega
    w=\frac{2\pi}{\hbar}|\hat{H}_{kk'}|^2\rho(E_{k'}^{(0)})

    由上面两式可得:dn=w ∴q(\theta)=\frac{2\pi}{\hbar}|\hat{H}_{kk'}|^2\frac{\rho(E_{k'}^{(0)})}{Nd\Omega},

    末态 态密度的计算方法:

    自由粒子动能本征态(箱归一化下)

    p_x=\frac{2\pi\hbar n_x}{L},p_y=\frac{2\pi\hbar n_y}{L},p_z=\frac{2\pi\hbar n_z}{L}, \psi_m^{(0)}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{L^{3/2}}e^{i\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}/\hbar}

    dn_x=\frac{L}{2\pi\hbar}dp_x,dn_y=\frac{L}{2\pi\hbar}dp_y,dn_z=\frac{L}{2\pi\hbar}dp_z
    dn_xdn_ydn_z=(\frac{L}{2\pi\hbar})^3dp_xdp_ydp_z
    球坐标下:dN=(\frac{L}{2\pi\hbar})^3p^2sin\theta dpd\theta d\varphi

    E_{k'}^{(0)}=p^2/(2\mu),pdp=\mu dE_{k'}^{(0)}

    所以,状态数dN用能量等价表示出来为:
    dN=\rho(E_m^{0})dE_m^{0}=(\frac{L}{2\pi\hbar})^3\mu psin\theta d\theta d\varphi dE_{k'}^{(0)}

    态密度\rho(E_{k'}^{(0)})=(\frac{L}{2\pi\hbar})^3\mu psin\theta d\theta d\varphi

    由定义,微扰矩阵元

    H_{k'k}'=\int \psi_{k'}^*(\boldsymbol r)U(\boldsymbol r)\psi_{k}(\boldsymbol r)d^3 \boldsymbol r
    =\int \frac{1}{L^{3/2}}e^{-i\boldsymbol k' \cdot \boldsymbol r}U(\boldsymbol r)\frac{1}{L^{3/2}}e^{i\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r}d^3 \boldsymbol r
    =\frac{1}{L^3}\int U(r)e^{i(\boldsymbol k-\boldsymbol k')\cdot \boldsymbol r}d^3 \boldsymbol r

    \boldsymbol K=\boldsymbol k'-\boldsymbol k,则K=2ksin(\theta/2)
    \theta 为\boldsymbol k' 和\boldsymbol k的夹角(根据等腰三角形)
    再次利用坐标轴变换化简,设\boldsymbol K 的方向沿新坐标轴的z'方向,位矢r'用球坐标(r,\theta',\varphi')表示.
    (\boldsymbol k-\boldsymbol k')\cdot \boldsymbol r'=-\boldsymbol K \cdot \boldsymbol r'=-Krcos\theta'

    最后得到H_{k'k}'=\frac{4\pi}{KL^3}\int_{0}^{\infty}r U(r) sin(Kr)dr

    其中,\int_{0}^{\pi}e^{-iKrcos\theta'}sin\theta'd\theta' =\frac{2}{Kr}sin(Kr)
    dn=\frac{2\pi}{\hbar}\rho(E_{k'}^{(0)}|H_{k'k}'|^2=\frac{4\mu k}{K^2L^3\hbar^3}|\int_{0}^{\infty} rU(r) sin(Kr)dr|^2d\Omega

    散射截面:

    q(\theta)=\frac{dn}{Nd\Omega}=\frac{4\mu^2}{K^2\hbar^4}|int_{0}{\infty}rU(r)sin(Kr)dr|^2
    散射振幅:
    q(\theta)=|f(\theta)|^2, f(\theta)=-\frac{2\mu}{K\hbar^2}\int_{0}^{\infty}rU(r)sin(Kr)dr

    Bohr近似成立的条件讨论:

    • 讨论入射粒子在核子之间的相互作用的汤川势作用下的散射截面,得到近似成立条件

    \xrightarrow{} U(r)=U_0 \frac{a}{r}e^{-\frac{r}{a}}
    由于r>a时,e^{-\frac{r}{a}}迅速减小a为汤川势力程,U_0为汤川势强度。

    • 有了U(r)的具体形式,直接代入散射截面方程,得到:

    q(\theta)=\frac{4\mu^2 a^6 U_0^2}{\hbar^4[1+4k^2 a^2 sin^2(\theta/2)]^2}

    用到的公式有:

    分部积分下\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{r}{a}}sin(Kr)dr=\frac{Ka^2}{1+K^2a^2}
    K=2ksin(\theta /2)

    总的散射截面为:

    Q=2\pi int_{0}^{pi}q(\theta)sin(\theta)d\theta

    =\frac{8\pi \mu^2 a^6 U_0^2}{\hbar^4}\int_{0}^{\pi}\frac{sin\theta d\theta}{[1+4k^2a^2sin^2(theta/2)]^2}
    利用t=1-cos\theta=2sin^2(\theta/2)化简

    Q=(\frac{2\mu a^3U_0}{\hbar^2})^2\frac{4\pi}{1+4k^2a^2}

    Discussion

    • 玻恩近似是利用微扰论计算跃迁速率,用到的是概率幅a_m(t)的一级修正方程的解;
    • U(r)能否被看做微扰;
      • 散射到一切方向的粒子数如果比较少(相比于入射粒子数),则U(r)可看做微扰
      • 具体用Q与经典散射截面\pi a^2的比值来衡量,Q/\pi a^2<<1时成立
        -汤川势中:Q/\pi a^2=\frac{16\mu a^4 U_0^2}{\hbar^4(1+4k^2a^2)}
      • E=\hbar^2k^2/2\mu很大(高能散射),则Q/\pi a^2=\frac{4\mu a^2U_0^2}{\hbar^4k^2}<<1
      • E=\hbar^2k^2/2\mu很小(低能散射),则Q/\pi a^2=\frac{16\mu a^4U_0^2}{\hbar^4}
        • 此时若要求条件成立,需要mu a^4U_0^2<<\hbar^4/16
        • 即,要求势的强度U_0和力程a较小;入射粒子质量比较小。

    \color{red}{总之,Bohr近似适用于高能散射;分波法适用于低能散射}

    the cross section for S-wave scattering:

    Formula

    Q=\frac{4\pi}{k^2}sin^2\delta_0 -----For l=0

    • for small k,the \delta_0 \xrightarrow{}-ka,
    • Because, for a finite range potential,Q is finite for all energies,and hence \delta_0 must vanish at least as fast as k in order,so that sin\delta_0/k is finite,hence,for small k the \delta_0 will behavior as \delta_0 \xrightarrow{}-ka.
      即,对所有的能量,截面都是有限的(散射势在一个有限的范围内),对于小的k,为保证sin\delta_0/k有限,\delta_0必须与k同步变化。
    • where a is some constant with dimensions of length
      \color{Brown}{a被称为散射长度 }
    • In the limit of k \xrightarrow{}0,the solution to the SE in the region(where the potential vashines),

    -\frac{1}{2\mu}\nabla^2=0-----is a straight line.

    u_0 \xrightarrow{} \frac{sin(kr+\delta_0)}{k}\xrightarrow{} r-a------in the low momentum regime.

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