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#                                            四  随机变量的数字特征

## 1.数学期望

离散型

$$

E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k

$$

连续性

概率密度为 f(x)

$$

E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)d_x

$$

若X=g(x),则把上面二式x换为g(x)。

Z=g(X,Y),概率密度f(x,y),则

$$

E(Z)=E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)f(x,y)d_xd_y

$$

### 1.1 性质

* C是常数，E(C)=C。

* E(CX)=C E(X)

* E(X+Y)=E(X)+E(Y)

* X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)

## 2 方差

定义：若E{ [X-E(X)]^2^ }存在，则为X的方差，记为D(X)或Var(X).

标准差（或均方差）$\sigma(X)=\sqrt{D(x)}$

离散型

$$

D(X)=\sum_{k=1}^{\infty}[x-E(X)]^2f(x)d_x

$$

连续型

$$

D(X)=\int_{-\infty}^{\infty}[x-E(X)]^2f(x)d_x

$$

D(X)=E(X^2^)-[E(X)]^2^

### 2.1 方差性质

X具有（0，1）分布，X~$\pi(\lambda)$  E(X)=D(X)=$\lambda$

X~U(a,b)  E(X)=$\frac{a+b}{2}$  D(X)=$\frac{(b-a)^2}{12}$

X~b(n,p)    E(X)=np  D(X)=np(1-p)

X~N($\mu$,$\sigma^2$)  E(X)=$\mu$    D(X)=$\sigma^2$

X服从指数分布，则其概率密度

$$

\begin{eqnarray}

f(x)=

\begin{cases}

\frac{1}{\theta} & x>0 \\

0  &  x\le0\\

\end{cases}

\end{eqnarray}

$$

E(X)=$\theta$  D(X)=$\theta^2$

- C是常数,则D(C)=0

- D(CX)=C^2^ D(X)  D(X+C)=D(X)

- D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{ ( X-E(X) ) (Y-E(Y) ) },若X,Y相互独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)

- D(X)=0 $\Longleftrightarrow$ P{X=E(X)}=1

### 2.2 Chebyshev不等式

E(X)=$\mu$, D(X)=$\sigma^2$ ,对于任意正数$\varepsilon$ ,P{|X-$\mu$|$\ge\varepsilon$}$\le\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$ ，或者

P{|X-$\mu$|$<\varepsilon$}$\ge1-\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$

## 3 协方差及相关系数

若X,Y相互独立，则E{[X-E(X)]\[Y-E(Y)]}=0,即X与Y的协方差，记为Cov(X,Y),为0。

Cov(X,Y)=E{[X-E(X)]\[Y-E(Y)]}

X与Y的相关系数$\rho_{XY}$=$\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$

Cov(X,Y)=Cov(Y,X)  Cov(X,X)=D(X)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(x,y)

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)  #常用于计算协方差

### 3.1 协方差性质

* Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)

* Cov($X_1+X_2$,$Y$)=Cov($X_1,Y$)+Cov($X_2,Y$)

### 3.2 协方差定理

$|\rho_{XY}|\le1$

$|\rho_{XY}|\Longleftrightarrow$ 存在常数a，b，使$P \{Y=a+bX\}=1$

## 4 矩、协方差定理