不定积分积分法

作者: zdxhxh | 来源:发表于2020-09-24 14:00 被阅读0次

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不定积分积分法

知识体系

一、基本积分表

根据积分表将函数积分，是最基本的操作。略

二、凑微分法

基本思想 : $\int狗(猫)猫\prime d狗= \int狗(猫)d(猫) \rightarrow 查基本积分表得到答案$

例如 : 求 $\int \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}dx$

$\int \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}dx = \int \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}}dx = 2\int \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}}d(\sqrt{x}) = 2\arcsin \sqrt{x} + C$

三、换元法

基本思想(复杂) : $\int狗d狗 = \int狗(猫)d猫 = \int狗(猫)猫^\prime d猫$

基本思想(简单) : $\int x dx ，令 u = x，则 dx = du，则\int x dx = \int u du$

最佳实践 : 还原法常用于以下情况代换 :

三角函数代换

根式转换

倒代换

复杂函数直接代换

例如 : 求 $\int \sqrt{a^2 - x^2}dx$

$令 x = a\sin t，则dx = a \cos t dt，t = a\arcsin x$

$原式 = \int \sqrt{a^2 - x^2}dx = \int \sqrt{a^2 - a^2\sin^2 t}* a\cos{t}dt$

$= a^2\int \sqrt{1 - \sin^2 t} * \cos{t} dt$

$=a^2 \int \cos^2{t}dt = \frac{t}{2} + \frac{\sin{2t}}{4} + C$

$= \frac{a^2\arcsin x}{2} + \frac{ax \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}{2} + C$

$=\frac{a^2\arcsin x}{2} + \frac{x \sqrt{a^2 - x^2}}{2} + C$

注 : 三角函数代换

当被积函数有如下公式时，可以作三角代换，这里a > 0 (附 : 其实积分表有以下公式)

$\sqrt{a^2 - x^2} \rightarrow 令 x = a\sin{t} ，|t| < \frac{\pi}{2}$

$\sqrt{a^2 +x^2} \rightarrow x = a\tan{t} ，|t|<\frac{\pi}{2}$

$\sqrt{x^2- a^2} \rightarrow x = a\sec{t}，\begin{cases} 若 x>0，则 0<t <\frac{\pi}{2} \\ 若x<0，则\frac{\pi}{2}<t<\pi \end{cases}，注意这里需要分类讨论$

四、分部积分法

基本思想 : $\int udv = uv - \int vdu = uv - vd(u) - \int vddu$

该公式给求相乘函数的积分一个思路，就是找到多次积分具有规律的式子作为v，将容易求导的式子作为u。

例如上述式子，当积分为 $\int x^3e^xdx$ 时

$原式 = e^x x^3 - \int 3x^2d(e^x) \\ = e^xx^3 - 3x^2e^x - \int6xd(e^x) \\ = e^xx^3 - 3x^2e^x - 6xe^x - \int6d(e^x) \\ = e^xx^3 - 3x^2e^x - 6xe^x - 6e^x - 0$

此时，你会发现在 $uv - \int vdu$ 这个式子中， $e^x$ 这个特殊函数可以一直作为v存在,因为 $\int vdu = \int du d(e^x) = du * e^x - \int e^x ddu$

所以，你会发现，分部积分法可以在某些情况下，只通过求导，就能算出积分，以下是常见的v情况

$e^x$
$\sin x、\cos x$

例如 : 求 $\int \frac{xe^{\arctan x}}{ (1 + x^2)^{\frac{3}{2}}}dx$

$令 x = \tan t ，则原式 = \int \frac{\tan t e^t}{\sec t}dx = \int \sin t e^tdx$

$= \sin t e^t - \int \cos t e^tdx = \sin t e^t - \cos t e^t - \int \sin t e^tdx$

$故 2\int \sin t e^tdx = \sin t e^t - \cos t e^t +C$

$\int \sin te^t dx = \frac{e^t(\sin t - \cos t )}{2} +C = \frac{e^{\arctan x} (x-1)}{2\sqrt{1+x^2}} + C$

注意 : $\sin{\arctan x } = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}，\cos {\arctan x } = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$

五、有理函数积分

对于 $\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx (n<m)的积分称为有理函数的积分。可以这样求$

将 $Q_m(x)$ 进行因式分解为多项式
令 $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = 多项式$
解出 $P_n(x) = 多项式 * Q_m(x)$ ，确定多项式系数
解由上述多项式的积分

注意 : 因式分解为多项式的规律为

$Q_m(x)的一次单因式，ax +b产生一项 \frac{A}{ax+b}$

$Q_m(x)的k重一次因式 (ax+ b)^k产生k项，分别为 \frac{A_1}{ax +b} + \frac{A_2}{(ax + b)^2} + ... + \frac{A_k}{(ax +b)^k}$

$Q_m(x)的二次单因式 px^2 + qx +r 产生以项目 \frac{Ax +B }{ px^2 + qx + r}$

$Q_m(x)的k重二次因式(px^2 +qx + r)^k产生 k项 \\ \frac{A_1x +B_1}{px^2 + qx +r} + \frac{A_2x +B_2}{(px^2 + qx +r)^2} + ... + \frac{A_kx +B_k}{(px^2 + qx +r)^k}$

例如 : 求 $\int \frac{x}{x^3 - x^2 + x -1}dx$

$原式 = \int \frac{x}{(x-1)(x^2 + 1)}dx ，为有理函数积分，则进行多项式分解$

$\frac{x}{(x-1)(x^2 + 1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$

$解得 A = \frac{1}{2}，B = -\frac{1}{2}，C=\frac{1}{2}$

$即\int \frac{x}{(x-1)(x^2 + 1)}dx = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1}dx + \frac{1}{2}\int \frac{1-x}{x^2 + 1}dx$

$= \frac{1}{2}\ln{|x-1|} + \frac{1}{2} \arctan x - \frac{1}{4}\ln{(x^2 + 1)} + C$

推论

$\ln{ax} + C = \ln {x} + C，因为对数运算法则，可以将lna看作常数$
$\int \frac{x^2}{x^2 + 1}dx = \int \frac{x^2 + 1 - 1 }{x^2+1} = x - \arctan x +C$

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