看动画轻松理解时间复杂度（一）

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算法（Algorithm）是指用来操作数据、解决程序问题的一组方法。对于同一个问题，使用不同的算法，也许最终得到的结果是一样的，比如排序就有前面的十大经典排序和几种奇葩排序，虽然结果相同，但在过程中消耗的资源和时间却会有很大的区别，比如快速排序与猴子排序：）。

那么我们应该如何去衡量不同算法之间的优劣呢？

主要还是从算法所占用的「时间」和「空间」两个维度去考量。

• 时间维度：是指执行当前算法所消耗的时间，我们通常用「时间复杂度」来描述。

• 空间维度：是指执行当前算法需要占用多少内存空间，我们通常用「空间复杂度」来描述。

本小节将从「时间」的维度进行分析。

什么是大O

当看「时间」二字，我们肯定可以想到将该算法程序运行一篇，通过运行的时间很容易就知道复杂度了。

这种方式可以吗？当然可以，不过它也有很多弊端。

比如程序员小吴的老式电脑处理10w数据使用冒泡排序要几秒，但读者的iMac Pro 可能只需要0.1s，这样的结果误差就很大了。更何况，有的算法运行时间要很久，根本没办法没时间去完整的运行，还是比如猴子排序：）。

那有什么方法可以严谨的进行算法的时间复杂度分析呢？

有的!

「 远古 」的程序员大佬们提出了通用的方法：「 大O符号表示法 」，即 T(n) = O(f(n))。

其中 n 表示数据规模 ，O(f(n))表示运行算法所需要执行的指令数，和f(n)成正比。

上面公式中用到的 Landau符号是由德国数论学家保罗·巴赫曼（Paul Bachmann）在其1892年的著作《解析数论》首先引入，由另一位德国数论学家艾德蒙·朗道（Edmund Landau）推广。Landau符号的作用在于用简单的函数来描述复杂函数行为，给出一个上或下（确）界。在计算算法复杂度时一般只用到大O符号，Landau符号体系中的小o符号、Θ符号等等比较不常用。这里的O，最初是用大写希腊字母，但现在都用大写英语字母O；小o符号也是用小写英语字母o，Θ符号则维持大写希腊字母Θ。

注：本文用到的算法中的界限指的是最低的上界。

常见的时间复杂度量级

我们先从常见的时间复杂度量级进行大O的理解：

• 常数阶O(1)

• 线性阶O(n)

• 平方阶O(n²)

• 对数阶O(logn)

• 线性对数阶O(nlogn)

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O(1)

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无论代码执行了多少行，其他区域不会影响到操作，这个代码的时间复杂度都是O(1)

void swapTwoInts(int &a, int &b){
  int temp = a;
  a = b;
  b = temp;
}

O(n)

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在下面这段代码，for循环里面的代码会执行 n 遍，因此它消耗的时间是随着 n 的变化而变化的，因此可以用O(n)来表示它的时间复杂度。

int sum ( int n ){
   int ret = 0;
   for ( int i = 0 ; i <= n ; i ++){
      ret += i;
   }
   return ret;
}

特别一提的是 c * O(n) 中的 c 可能小于 1 ，比如下面这段代码：

void reverse ( string &s ) {
    int n = s.size();
    for (int i = 0 ; i < n/2 ; i++){
      swap ( s[i] , s[n-1-i]);
    }
}

O(n²)

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当存在双重循环的时候，即把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²) 了。

void selectionSort(int arr[],int n){
   for(int i = 0; i < n ; i++){
     int minIndex = i;
     for (int j = i + 1; j < n ; j++ )
       if (arr[j] < arr[minIndex])
           minIndex = j;
       
     swap ( arr[i], arr[minIndex]);
   }
}

这里简单的推导一下

• 当 i = 0 时，第二重循环需要运行 (n - 1) 次
• 当 i = 1 时，第二重循环需要运行 (n - 2) 次
• 。。。。。。

不难得到公式：

(n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + ... + 0
= (0 + n - 1) * n / 2
= O (n ^2)

当然并不是所有的双重循环都是 O(n²)，比如下面这段输出 30n 次 Hello,五分钟学算法：）的代码。

void printInformation (int n ){
   for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
        for (int j = 1 ; j <= 30 ; j ++)
           cout<< "Hello,五分钟学算法：）"<< endl;
}

O(logn)

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int binarySearch( int arr[], int n , int target){
  int l = 0, r = n - 1;
  while ( l <= r) {
    int mid = l + (r - l) / 2;
    if (arr[mid] == target) return mid;
    if (arr[mid] > target ) r = mid - 1;
    else l = mid + 1;
  }
  return -1;
}

在二分查找法的代码中，通过while循环，成 2 倍数的缩减搜索范围，也就是说需要经过 log2^n 次即可跳出循环。

同样的还有下面两段代码也是 O(logn) 级别的时间复杂度。

  // 整形转成字符串
  string intToString ( int num ){
   string s = "";
   // n 经过几次“除以10”的操作后，等于0
   while (num ){
    s += '0' + num%10;
    num /= 10;
   }
   reverse(s)
   return s;
  }

void hello (int n ) {
   // n 除以几次 2 到 1
   for ( int sz = 1; sz < n ; sz += sz) 
     for (int i = 1; i < n; i++)
        cout<< "Hello,五分钟学算法：）"<< endl;
}

O(nlogn)

将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logn)，也就是了O(nlogn)。

void hello (){
  for( m = 1 ; m < n ; m++){
    i = 1;
    while( i < n ){
        i = i * 2;
    }
   }
}

递归算法的复杂度分析

在高阶的算法中往往会用到递归或是分治的思想去处理，比如之前提到的 归并排序 或是 快速排序。
如果递归函数中，只进行一次递归调用，递归深度为depth；在每个递归的函数中，时间复杂度为T；
则总体的时间复杂度为O(T * depth)。

递归中进行一次递归调用的复杂度分析

int sum (int n) {
  if (n == 0) return 0;
  return n + sum( n - 1 )
}

在这段代码中递归深度为 n，因此时间复杂度为 O (n)。

//递归深度：logn
//时间复杂度：O(logn)
double pow( double x, int n){
  if (n == 0) return 1.0;
  
  double t = pow(x,n/2);
  if (n %2) return x*t*t;
  return t * t;
}

递归中进行多次递归调用的复杂度分析

// O(2^n) 动态规划的优化
int f(int n){
 if (n == 0) return 1;
 return f(n-1) + f(n - 1);
}

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动图的中节点数就是代码计算的调用次数。

下一节将深入的对递归算法的复杂度进行分析，敬请期待：）

文章首发于公众号：五分钟学算法

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