如图，正方体ABCD-的棱长为2、E、F分别是棱AB,BC上的点，且AE=BF=Х.

﹙1﹚当X为何值时，三棱锥BEF的体积最大？

﹙2﹚当三棱锥BEF的体积最大时，求二面角EFB的正确值；

﹙3﹚求异面直线与所成角的取值范围.

解析

﹙1﹚在正方体ABCD→中⊥平面ABCD,

故

将三棱锥-BEF的体积表示成关于的二次函数，体现了函数思想。

故当=1时，三棱锥-BEF的体积取得最大值，为.

﹙2﹚由﹙1﹚知，当E、F分别为AB,BC的中点时，三棱锥-BEF的体积最大，取EF的中点0，连接0B,

,如图，

则BOEF,易得E=F，所以O⊥EF,

则 ∠0B是两面角－EF－B的平面角。

在RtBEF中，BO=EF=，

在RtO中，∠OB==,

即三棱锥-BEF的体积最大时，二面角－EF －B的正切值为.

﹙3﹚在AD上取点H，使AH=BF=AE,连接H、EH、FH，如图，

易知HF=AB=,HF//AB//,故四边形FH是平行四边形，

则H//F,故∠HA，E（或其补角）及为异面直线E与F所成的角。

在RtAH中，H=，

在RtAE中，E=，

在RtHAE中，EH=，

在E中，由余弦定理的推论得cos∠HA，E=，

将异面直线所成角的余弦值表示成关于的函数，通过变量的范围求异面直线所成角的取值范围，体现了函数思想。

易知O＜X ≤ 2，则4＜+4 ≤ 8，即＜＜1，即≤cos∠E＜1，则0＜∠

E=,所以异面直线E与F所成角的取值范围为（0，〕.

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思想方法：

函数思想在立体几何中的应用常体现在求线段的长度范围，体积、角度、面积的最值等，通过引入合适的变量把所有研究的问题转化为函数问题，通过函数性质解决，达到化难为易，化繁为简的目的，做题时应注意所引入的变量的取值范围。

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