19世纪几何学和代数学的变革，给20世纪的数学带来飞速的发展和空前的繁荣。现代数学不再只是几何、代数和分析这几门传统学科，而成为分支众多、结构庞杂的知识体系，并仍在不断地发展和变化。数学的特点不只是严密的逻辑性，更添加了另外两条，即高度的抽象性和广泛的应用性，并因此形成了现代数学研究的两个大的范围，即纯粹数学和应用数学。
纯粹数学最初主要受两个因素推动，即集合论的渗透和公理化方法的应用。集合论本来是由G．康托尔于19世纪后期创立的，曾遭到包括克罗内克等在内的许多数学家的反对，后来因其在数学中的作用越来越明显才获得承认。集合最初是建立在数集或点集之上，不久它的定义范围得以扩大，可以是任何元素的集合，如函数的集合、几何图形的集合等。这就使得集合论作为一种普遍的语言进入数学的不同领域，引起了数学中积分、函数、空间等基本概念的深刻变化，同时刺激了数理逻辑中直觉主义与形式主义的进一步发展。
在G．康托尔的眼里，集合是一些对象的总体，不管它们是有限的还是无限的。当运用“一一对应”的方法去研究集合时，他得出了惊人的结果：有理数是可数的，即能与自然数一一对应。不仅如此，G．康托尔还给出了超越数存在性的非构造性证明。事实上，G．康托尔证明了代数数和有理数一样也是可数的，又证明了实数是不可数的。
集合论的观点与公理化的方法在20世纪逐渐成为数学抽象化的范式，它们相互结合之后力量更强，把数学的发展引向更抽象的道路，推动了20世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数这四大抽象数学分支的崛起，堪称4朵抽象数学之花。
法国数学家勒贝格（1875—1941），他用集合论的方法定义了测度（勒贝格测度），作为原先“长度”概念的推广，建立起所谓的“勒贝格积分”，从而把定积分的概念做了推广。在此基础上，他利用微分运算与积分运算的互逆性，重建了牛顿和莱布尼茨的微积分基本定理，从而形成了一个新的数学分支——实变函数论。
除了实变函数论以外，现代分析的另一个重要组成部分是泛函分析。“泛函”可以看成是“函数的函数”，这个词由法国数学家阿达马（1865—1963，以率先证明数论中的素数定理闻名）引进。十年后波兰数学家巴拿赫（1892—1945）又建立了更大的“赋范线性空间”（巴拿赫空间）概念，用“范数”替代内积来定义距离和收敛性等，极大地拓展了泛函分析的研究领域，同时真正做到空间理论的抽象化。
在集合论的观点帮助建立实变函数论和泛函分析的同时，公理化方法也在向数学领域渗透，其中最有代表性的结果就是抽象代数的形成。自从伽罗华提出群的概念以后，群的类别就从有限群、离散群发展到了无限群、连续群。代数对象也在扩大，进一步产生了其他代数系统，如环（ring）、域（field）、格（lattice）、理想（ideal）等。此后，代数学研究的中心就转移到了代数结构上，这种结构由集合元素之间的若干二元关系合成运算组成，具有以下特点：一是集合的元素必须是抽象的，二是运算法则是通过公理来规定的。
德国女数学家诺特（1882—1935）在1921年发表的《环中的理想论》，就是抽象代数的开端，她是这个领域最有建树的数学家之一，她的弟子遍布世界，诺特也被视为迄今为止最伟大的女数学家。
拓扑学这个词是由高斯的一个学生引进的（1847），其希腊文原意是“位置的学问”。拓扑学研究几何图形的连续性质，即在连续变形（拉伸、扭曲但不能割断和黏合）的情况下保持不变的性质。它虽然最初属于几何学，但其两大分支却分别是代数拓扑学和点集拓扑学。
代数拓扑学的奠基人是法国数学家庞加莱（1854—1912），正如墙壁用砖砌成，他将几何图形分割成有限个相互连接的小图形。他定义了所谓的高维流形、同胚和同调，后来的数学家又发展了同调论和同伦论，并把拓扑问题转化为抽象代数问题。
点集拓扑学又名一般拓扑学，是把几何图形看作点的集合，同时把整个集合看作一个空间。数学家们从“邻域”这个概念出发，引进连续、连通、维数等一系列概念，再加上紧致性、可分性和连通性等性质，建立了这门学科。
拓扑学的贡献最为重要的无疑就是庞加莱，四维空间是非欧几何学的一种特殊形式，当人们仍在辩论非欧几何学以及违反欧几里得第五公设的哲学后果时，庞加莱是这样引导我们想象四维世界的，“外在物体的形象被描绘在视网膜上，视网膜上的是一幅二维图，而物体的形象是一幅透视图……”按照他的解释，既然二维面上的形象是从三维面来的投影，那么三维面上的形象可以看作从四维面来的投影。庞加莱建议，可以将第四维描述成画布上接连出现的不同透视图。
他曾提出的“庞加莱猜想”的证明及其推广，即四维和四维以上空间的情形，使得三位数学家前后各相隔20年分别获得菲尔兹奖（1966、1986、2006），这在数学史上被传为佳话。
有意思的是，“抽象”（abstract）这个词作为名词在西文里的意思是摘要，它常常被置于一篇数学论文的开头，在标题、作者姓名和单位下面。可在艺术领域，它还被理解成从自然里提取出来的什么东西。主题变成了附属的或弯曲变形了的东西，以便强调造型或表现手段，那是一种不以表现自然为目的的艺术，“抽象”是一种方法，目的在于重建独立绘画的自然景致。真正与“抽象代数”这个数学专业词汇相对应的应该是“抽象艺术”，它专指那些没有任何可以辨认主题的绘画。
俄国画家康定斯基（1866—1944）被视为第一个“抽象画家”。30岁在德国慕尼黑的一所美术学院学习期间，经过一番探索，他找到并确立了自己的艺术目标：通过线条和色彩、空间和运动，无须参照可见的自然物体，来表现一种精神上的反应或决断。关于非客观物体的或没有实际主题的绘画风格开始形成。
“色彩和形式的和谐，从严格意义上讲必须以触及人类灵魂的原则为唯一基础。”从康定斯基身上我们可以感觉到一种神秘主义的内在力量，这是一种精神产品而不是外部景象或手工技巧的产品。作品也多是抽象几何的风格演变，以圆和三角形为主要形式，如《几个圆圈》《一个中心》。
20世纪数学的主流可以说是结构数学，数学的研究对象不再是传统意义上的数与形，数学的分类不再是代数、几何和分析，而是依据结构相同与否。例如，线性代数和初等几何“同构”。
另外，作为抽象数学应用的一个光辉典范，计算机也已成为数学研究本身的有力工具和问题源泉，并推动了一个新的数学分支——计算数学的诞生。它不仅设计、改进各种数值计算方法，还研究与这些计算有关的误差分析、收敛性和稳定性等问题。计算机科学的飞速发展，不仅离不开数理逻辑，也促进了与之相关的其他数学分支的变革或创立，前者的一个例子是组合学，后者的一个典型代表是模糊数学。
随着社会分工的进一步细化，人们所受教育的时间不断延长，所学内容也越来越复杂和抽象，这在人类文明的各个领域皆如此。
19世纪40年代以来，无论是电子计算机、原子能技术、空间技术、生产自动化还是通信技术，都与数学紧密相关，相对论、量子力学、超弦理论、分子生物学、数理经济学和混沌理论等科学分支所需要的数学工具尤为深奥和抽象。
进入20世纪后，数学相继在相对论、量子力学以及基本粒子等理论物理学领域得到应用。1908年，德国数学家闵可夫斯基提出了空间和时间的四维时空结构，为爱因斯坦（1879—1955）的狭义相对论（1905）提供了最适用的数学模型，这种结构后来被称为“闵可夫斯基空间”。有了这个模型以后，爱因斯坦又进一步研究了引力场理论。广义相对论的这个数学描述第一次揭示了非欧几何学的现实意义，也成为历史上最伟大的数学应用例子之一。
在20世纪下半叶，还有多项物理学的工作需要应用抽象的纯粹数学，例如著名的规范场理论和超弦理论。超弦理论或弦理论兴起于20世纪80年代，它把基本粒子看作一些伸展的一维弦线般的无质量的实体（其长度约为10-33厘米，被称为普朗克长度），以代替其他理论中所用的在时空中无尺寸的点。这个理论以引力理论、量子力学和粒子相互作用的统一数学描述为目标，成为数学家与物理学家携手合作的一个最活跃的领域，其中所用到的数学涉及微分拓扑、代数几何、微分几何、群论、无穷维代数、复分析和黎曼曲面上的模理论等。
除了物理学以外，数学还在其他自然科学和社会科学领域发挥了重要作用。人工智能的进步得益于云计算、大数据、神经网络技术的发展和摩尔定律。目前，人工智能在逻辑推理方面可以说已超越人类，但是在认知情感、决策等领域能做的事情仍十分有限。专家认为，人工智能所面临的更多是数学问题。
与音乐、绘画、建筑等艺术一样，数学是无国界的，几乎没有语言障碍。它是人类文明的重要组成部分。
是否也可能是外星文明的重要组成部分？
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