数学分析

集合

集合的概念

我们把集合理解为由若干确定的、有充分区别的、具体或抽象的对象合并而成的一个整体——集合论奠基人格奥尔格·康托尔描述的集合概念。

康托尔集合论的基本前提可归结为：

• 集合可由任何有区别的对象组成；
• 集合由其组成对象整体唯一确定；
• 任何性质都确定一个具有该性质的对象的集合。

<font color=red>所有集合的集合，就是一个矛盾的概念。</font>

集合计算

• 关系定义

  • 并集
  • 交集
  • 差集
  • 补集

• 交换律
  .
  .

• 结合律
  .
  .

• 分配率
  .
  .

• 德摩根法则
  
  

• 笛卡尔积
  对于任意集合可以构造出新集合，这当然是无序对，而序对则要区分第一个元素和第二个元素，表示且。现设为任意两个集 叫做的直积或笛卡尔积。

集合公里

• 1.外延公里 集合和集合相等，当且仅当他们具有的各元素是相同的。
• 2.分离公里 任何集合和性质都对应一个集合，其元素是且仅是中具有性质的各元素。
• 3.并集公里 对于集合的任何集合，存在一个被称为集合M的并集的几何，其元素是且仅是的各元素所包含的那些元素。
• 4.配对公里 对于任何集合和，存在一个集合，其元素仅为和。
• 5.子集之集公里 对于任何集合，存在一个集合，其元素是且仅是的各子集。
• 6.无穷公里 归纳集存在。（归纳集：如果一个集合包含空集以及自身任何一个元素的后续集，叫归纳集。定义： 为后续集。）
• 7.替换公里 设是以下命题：对于集合中的任何元素，存在唯一的对象，使得成立。那么，满足以下条件的对象组成一个集合：存在，使得成立。
• 8.选择公里 对于任何由互不相交非空集合组成的集合族，存在集合，使得对于该集合中的任何集合，集合只由一个元素构成。

集合的势——基数

• 定义 集合所在的类称为集合的势或者基数类，记为，如果~，即可写出。<font color=red>作用：使我们能够比较集合所有元素的数量，而不必采用数学的方式作为中间步骤，即不必通过与自然数列的比较来衡量元素的数量。</font>

• 康托尔定理 ，其中表示的一切子集构成的集。<font color=red>这个定理表明，如果无穷集存在，则“无穷性”也是各不相同的。</font>

• 集合的势的性质

  • 1
  • 2 （施罗德-柏恩斯坦定理）
  • 3 （康托尔定理）

函数

函数定义

如果集合中的每一个元素都按照某种规律与集合的元素相对应，我们就说有一个函数，它定义与并取值与。函数的同义词：映射、变换、射、算子、泛函。

满射、单射、双射（一一映射）