正定矩阵分解

例题

例2.1若 $A$ 为实对称正定矩阵，则存在唯一的正定矩阵 $S$ ，使得 $A=S^2$ .
四种解法
例2.4（华东师大07）存在唯一的正定矩阵 $C$ 使得 $A=C^m$ ，其中 $m$ 为任意自然数.
两种解法

参考文献

http://www.52gd.org/?p=334

直和

例题

例2.5（西南师大03，上海大学05，华中科技04）设 $A$ 为 $n$ 阶方阵， $W_{1}=\left\{x \in R^{n} | A x=0\right\}, W_{2}=\left\{x \in R^{n} |(A-E) x=0\right\}$
证明 $A$ 为幂等矩阵的充要条件为 $R^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ .
例2.8（江苏大学04，大连理工02，南京理工08）设 $V_1，V_2$ 分别为齐次线性方程组 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0$ 与 $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}$ 的解空间.证明 $R^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ .
例2.12（浙江师大03）设 $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{t}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，满足
（1） $\sigma_{i}^{2}=\sigma_{i}, i=1,2, \cdots, t$ .
（2） $\sigma_{i} \sigma_{j}=0, i \neq j, i, j=1,2, \cdots, t$ 证明
$V=I m \sigma_{1} \oplus I m \sigma_{2} \oplus \cdots \oplus I m \sigma_{t} \oplus \bigcap_{i=1}^{n} \operatorname{ker} \sigma_{i}$