方向导数与梯度

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方向导数

在现实问题中，对数据某种变化率的研究不仅仅只限于对标准坐标轴的方向，因为数据需要从不同的角度去研究其变化，所以仅仅对坐标轴的方向进行研究是不够的。对数据进行全方位的研究，就需要得到数据在各种不同方向的变化率，但对数据的其他方向怎么研究呢？这就引出了方向导数的概念。把数据的分布想象成一个空间曲面z=f(x,y)，设曲面上一数据点P0(x0,y0)可微，现在我想求P0到曲面上任意一点P(x,y)的变化率，也就可以简化为空间中两个点的斜率。如图所示：

P0(x0,y0)和P(x,y)分别对应于平面上M0(x0,y0)和M(x,y)，ρ为从点M0到点M的距离，注意方向是从点M0到点M，由单位向量l={cosα，cosβ}表示，即M点也可以表示为M{x0+ρcosα,y0+ρcosβ}；△z表示P0到P的增量，也就是沿着向量l的增量，即△z=f(x,y) - f(x0,y0)=f(x0+ρcosα,y0+ρcosβ) - f(x0,y0)。显然可以得到，△z/ρ是沿方向l的平均变化率。到这里就可以引出方向导数的概率，当ρ无限接近于0时，M是M0邻域内任意一点，之前的平均变化率也就成了方向导数。

也可以说方向导数是曲面z=f(x,y) ，在点M0(x0,y0)沿方向l的倾斜程度（坡度）。

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梯度

有了方向导数这一概念，我们就知道了数据沿着任意方向的变化程度。在现实问题中，我们往往对数据变化的快慢感兴趣，或者说我们需要的某个值是与数据变化快慢密切相关的。所以引入梯度这一概念。
梯度，就是数据增长最快的方向。为什么呢？结合上右图的公式，方向导数可以写成向量的点积形式：

其中向量{∂f/∂x,∂f/∂y}为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的梯度方向，简称梯度，记做grad f。现在继续对上式进行化简，得到下图，注意其中的点乘运算。

显然，当θ=0时，向量l与向量{∂f/∂x,∂f/∂y}方向相同时，方向导数取得最大值，也就是增长的最快。当θ=180°时，向量l与向量{∂f/∂x,∂f/∂y}方向相反时，方向导数取得最小值，也就是下降的最快。

如等高线图所示，几何上来说，从等值线上的一个点上升或下降到最高点或最低点，每一步怎么走才是最快的，显然沿着法向量的方向，也是梯度的正或反方向，垂直当前点在等高线上的切线走，距离最短，也是最快的。