数据描述性统计

作者: 谈文说理 | 来源:发表于2018-12-10 16:24 被阅读0次

一、集中趋势

1、众数，样本中出现次数（频数）最多的数值。

2、中位数，一组样本数据按升序或降序排列后，如果样本容量为奇数，取中间位置的数值；如果为偶数，则取中间两个数据的平均值。

3、平均数

算术平均数： $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^nx_{i}$ ，n个数据相加后除以n，它较中位数、众数更少受到随机因素影响，缺点是它更容易受到极端值影响。

几何平均数： $\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_{i} }$ ，n个数据相乘后开n次方，适用于指数增长 (恒定的比例增长) 和变化的增长值。

调和平均数： $\frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_{i} } }$ ，n个数据的倒数取算术平均，再取倒数，调和平均数可以用在相同距离但速度不同时，平均速度的计算。

二、离散程度

1、异众比率，总体中非众数次数与总体全部次数之比。

2、四分位差，上四分位数和下四分位数的差值，反映了中间50%数据的离散程度，其数值越小，说明中间的数据越集中；其数值越大，说明中间的数据越分散。

3、描述统计中的方差， $\sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_{i} -\mu)^2}{n}$ ，随机变量的离散程度，将各个误差将之平方相加之后再除以总数，开根号之后就是均方差（标准差）。

4、概率分布中的方差，随机变量X的均值就是数学期望E，即

6、离散系数（变异系数），标准差 $\sigma$ 与平均值 $\mu$ 之比。

三、分布形状

1、偏态系数，用来度量分布是否对称， $S = E[(\frac{X-\mu }{\sigma })^3 ] = \frac{\mu ^3 }{\sigma ^3}$ ，当SK>0，数据为正（右）偏态，当SK<0，数据为负（左）偏态，当SK=0，数据完全对称。

2、峰态系数，用来度量数据在中心聚集程度，在正态分布情况下，峰度系数值是3（但是SPSS中将正态分布峰度值定为0，是因为已经减去3，这样比较起来方便）。峰度系数与其标准误的比值用来检验正态性。如果该比值绝对值大于2，将拒绝正态性。

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