题目描述

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

题解

使用动态规划的方法，用一个二维数组 $dp[i][j]$ 保存礼物的最大价值，从逻辑上就可以得到，dp数组中第一行和第一列的最大价值就与grid数组中对应值相等（因为第一行和第一列只能起点往一个方向走）。然后其余位置的最大价值怎么求呢？可以比较 $dp[i][j]$ 这个位置上面 $dp[i-1][j]$ 以及左边 $dp[i][j-1]$ 的最大价值，将较大的结果加上 $grid[i][j]$ 的值即得到当前最大价值 $dp[i][j]$ 。

状态转移方程为：
$dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]$

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int m = grid.length, n = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[m][n];
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for (int i = 1; i < m; i++) dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];
        for (int j = 1; j < n; j++) dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];

        // dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
        for (int i = 1; i < m; i++)
            for (int j = 1; j < n; j++)
                dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j];

        return dp[m-1][n-1];
    }
}