二叉排序树定义
二叉排序树(Binary Sort Tree)，又称二叉查找树。它是一颗空树，或者具有下列性质：
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
-
它的左、右子树分别为二叉排序树。
二叉排序树
构造二叉排序树的目的
- 提高查找和插入删除关键字的速度。
一、二叉排序树的查找
- 二叉排序树的查找可以用递归来实现；
- 先将要查找的关键字和根节点进行比较;
- 若和根节点值相同，则返回根节点值；若比根节点小，就递归查找左子树，若比根节点大，则递归查找右子树。
二叉排序树的查找代码实现
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100
typedef struct BiTNode{// 二叉树的儿二叉链表结点结构
int data; // 结点结构
struct BiTNode * lchild,* rchild; // 左右孩子指针
}BiTNode, * BiTree;
/**
* 递归查找二叉排序树 T 中是否存在 key
* 指针 f 指向 T 的 双亲，其初始调用值为NULL
* 若查找成功，则指针 p 指向该数据元素结点，并返回TRUE
* 若查找不成功， 则指针 p 指向查找路径上访问的最后一个结点并返回FALSE
*/
int SearchBST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p){
if (!T) { // 查找不成功
*p = f;
return FALSE;
}else if (key == T->data){
*p = T;
return TRUE;
}else if (key < T->data){ // 在左子树中继续查找
return SearchBST(T->lchild, key, T, p);
}else{ // 在右子树中鸡血查找
return SearchBST(T->rchild, key, T, p);
}
}
二、二叉排序树的插入操作
- 先调用查找操作将要插入的关键字进行比较
- 如果在原有的二叉排序树中没有要插入的关键字，则将关键字与查找的结点p（在查找操作中返回的结点）的值进行比较
- 若p为空，则插入关键字赋值给该节点；
- 若小于结点p的值，则插入关键字作为结点p的左子树；
- 若大于结点p的值，则插入关键字作为结点p的右子树；
二叉排序树的插入操作代码实现
/**
* 二叉排序树的插入
* 当二叉排序树中不存在关键字等于 key 的数据元素时，插入 key 并返回TRUE
*/
int InsertBST(BiTree * T, int key){
BiTree p,s;
if (!SearchBST( *T, key, NULL, &p)) { // 没找到key
s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
s->data = key;
s->lchild = s->rchild = NULL;
if (!p)
*T = s; // 插入 s 为新的根结点
else if (key < p->data)
p->lchild = s; //插入 s 为左孩子
else
p->rchild = s; // 插入 s 为右孩子
return TRUE;
}else
return FALSE;
}
三、二叉排序树的删除操作
二叉排序树的删除操作相对复杂，因为不能因为删除了结点，让这颗二叉排序树变得不满足二叉排序树的性质，所以对于二叉排序树的删除存在三种情况：
- 叶子结点；（很容易实现删除操作，直接删除结点即可）
- 仅有左或者右子树的结点；（容易实现删除操作，删除结点后，将它的左子树或者右子树整个移动到删除结点的位置）
- 左右子树都有的结点。（实现删除操作很复杂）
对于要删除的结点同时存在左右子树的情况的解决办法
核心思想
将它的直接前驱或者直接后继作为删除结点的数据
实现方法
- 如图，要删除的结点为47
- 47的直接前驱是37，直接后继是48
- 如果用直接前驱37作为删除后结点的值，（由于结点37有一个左子树）那么（左子树）36就去替换到37结点上。
-
如果用直接后继47作为删除后结点的值，（由于结点47是叶子结点）那么直接将48替换到37结点上即可。
二叉排序树的删除操作代码实现
/**
* 从二叉排序树中删除结点 p ， 并重接它的左/右子树
*/
int Delete(BiTree *p){
BiTree q, s;
if ((*p)->rchild == NULL) { // 右子树空 则只需要重接它的左子树
q = *p;
*p = (*p)->lchild;
free(q);
}else if ((*p)->lchild == NULL){ // 左子树空 则只需要重接它的右子树
q = *p;
*p = (*p)->rchild;
free(q);
}else{ // 左右子树都不空
q = *p;
s = (*p)->lchild;
while (s->rchild) { // 向右到尽头，找到待删结点的前驱
q = s;
s = s->rchild;
}
(*p)->data = s->data; // s 指向被删除结点的直接前驱 （将被删结点前驱的值取代被删结点的值）
if (q != *p)
q->rchild = s->lchild; // 重接 q 的右子树
else
q->lchild = s->lchild; // 重接 q 的左子树
free(s);
}
return TRUE;
}
/**
* 二叉排序树的删除
* 当二叉排序树中存在关键字等于 key 的数据元素时，删除该数据元素并返回TRUE
*/
int DeleteBST(BiTree * T, int key){
if (!*T) // 不存在关键字等于 key 的元素
return FALSE;
else{
if (key == (*T)->data)
return Delete(T);
else if (key < (*T)->data)
return DeleteBST(&(*T)->lchild, key);
else
return DeleteBST(&(*T)->rchild, key);
}
}
四、测试代码
对于二叉排序树的建立，可以通过二叉排序树的插入操作来实现。
通过中序遍历二叉排序树，结果是从小到大输出。
/**
* 中序递归遍历
*/
void InOrderTraverse(BiTree T){
if (!T)
return;
InOrderTraverse(T->lchild);
printf("%d ", T->data);
InOrderTraverse(T->rchild);
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
int i;
int a[10] ={62,88,58,47,35,73,51,99,37,93};
BiTree T = NULL;
for (i = 0; i < 10; i++) { // 通过插入操作来构建二叉排序树
InsertBST(&T, a[i]);
}
printf("中序递归遍历二叉排序树：\n");
InOrderTraverse(T);
printf("\n\n");
DeleteBST(&T, 93);
printf("删除结点 93 后的结果为：\n");
InOrderTraverse(T);
printf("\n\n");
printf("插入 91 后的结果为：\n");
InsertBST(&T, 91);
InOrderTraverse(T);
printf("\n\n");
return 0;
}
二叉排序树总结
- 二叉排序树是以链接的方式存储，保持了链接存储结构在执行插入或删除操作时不用移动元素的优点。只要找到合适的插入和删除位置后，仅需要修改链接指针即可。插入删除的时间性能比较好。
- 对于二叉排序树的查找，走的是根结点到要查找结点的路径，其比较次数等于给定值的结点在二叉排序树的层次。
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