聪明的白羊们

作者: Athlon_BE | 来源:发表于2019-03-20 00:02 被阅读173次

经常在朋友圈中看到“都9102年了”这样的说法，我一直不解，后来经小朋友们点拨，才知道这是2019年反过来说的梗儿，意思是“过时了”。作为中老年理工男，我自然不会这么轻易地承认自己out了的这个事实，心中下意识地会回怼一句：有本事到2112年再说这句话啊！

2112年是下一个回文（palindrome）数字年，正着念和反着念都是同一个数字。2112离今年还有……不到一百年吧，今天再小的小朋友估计也很难看到这一年的到来。不过如果我们把月和日的数字也加进来，那么下一个回文日期倒是很快就会到来：用英式的写法，这个日子是9月10日，9-10-2019；用中式的写法，这个日子会稍晚一点，在10月2日，2019-10-2。

小时候很喜欢看外公书柜里的书，比如《声律启蒙》，比如《笠翁对韵》。记得当时看过一本人民出版社出版的《古今联话》（年代久远，书名或许有出入），里面有一首对联我现在还记得。

传说乾隆皇帝微服私访，去了一家叫做“天然居”的饭庄吃饭，看到“天然居”的招牌，想到自己天子的身份，不禁脱口而出：“客上天然居，居然天上客”，意思是来到天然居微服私访的客人居然是来自天庭的皇上。乾隆爷好不得意，因为这句上联不仅大气磅礴，而且是个十字回文联，正向和反向读出来都是同一句话。得意之余，他便让一旁的纪晓岚对下联。纪晓岚想起当天私访的路上刚刚经过大佛寺，于是回答道：人过大佛寺，寺佛大过人。见纪晓岚思路敏捷，乾隆爷非常高兴。纪晓岚回到家，和朋友说起此事，朋友说：你这个下联工整是工整，但缺了些意境，何不对“僧游云隐寺，寺隐云游僧”？纪晓岚心悦诚服。

下联“人过大佛寺，寺佛大过人”、“僧游云隐寺，寺隐云游僧”和上联的“客上天然居，居然天上客”一样，也是正反读出来都一样的回文。类似的文字游戏，存在于不同的语言之中。相比于汉字的精炼和富含意境，拉丁文字胜在字母拼写多样，所以更容易构造出以字母为单位的回文句子，比如英语中的Madam, I’m Adam（女士，我是亚当），又比如荷兰语中的Mooi, dit idioom（好棒啊，这个成语）。

日语虽然不属于拉丁语，但它有着强烈的拼音文字特征，如果以假名为单位，日语的回文同样可以很精彩。比如“新幹線沿線監視”，如果写成平假名，就是しんかんせんえんせんかんし，可以看出，这串假名是一个以正中那个え为中心对称的回文。又如年终时新年快乐的祝福语“年末つまんね”，写成平假名就是ねんまつつまんね，同样是一句回文^【¹^】。

让我们回到数字。

在非负整数中，我们知道有些数是回文数，比如8，55，12821等，更多的数则不是回文数，比如45，1436721等。

在回文数中有一个特别的数，它由2个1、3个6和26个0组成，即1000000000000066600000000000001，这个数的奇特之处在于它既是回文数，又是质数，它长达31位，是如此的对称，却没有除了1和它本身之外的其它因子。因为这个数的中间有个666，所以它被称之为贝尔芬格质数（Belphegor's prime），贝尔芬格是西方文化中一个以“懒惰、好逸恶劳”著称的恶魔。

对于那些非回文数，人们发现，任何一个自然数都能表示为三个回文数之和。这个论题看上去非常简单，任何会多位数加法的小朋友都可以验证；但实际上这个论题的证明非常复杂，有兴趣的朋友可以去看看长达近40页的论文原文^【²^】。

下面，我们来尝试证明对于所有小于1000的自然数该论题是成立的。这里，我们用 $\overline{abc}$ 来表示一个百位、十位和个位分别为数字a、b和c的三位数。

1）很显然，对于所有的一位数来说，它们自己本身就是回文数，所以对于任意一个一位数 $\overline{a}$ 来说，可以有 $\overline{a} = \overline{a} + 0 + 0$ ，其中a和0都是回文数。

2）现在考虑两位数。

2.1）小于11的两位数只有1个：10。10可以表示为3个回文数之和，比如 $10 = 9 + 1 + 0$ 。

2.2）大于10的两位数中有11，22，33……99一共9个回文数，各个回文数之间相差11。如果这个两位数本身就是这9个回文数之一，那么类似于一位数1），可以有： $\overline{aa} = \overline{aa} + 0 + 0$ 。

2.3）如果大于10的两位数 $\overline{ab}$ 不是回文数，那么它一定位于上述9个回文数中连续两个回文数之间，且和较小的那个回文数之间相差1-10。以38为例，它和33相差5，所以可以有： $38 = 33 + 5 + 0$ ；又以87为例，它和77相差10，所以可以有： $87 = 77 + 9 + 1$ 。

我们注意到，2.3.1）只有当十位数比个位数大1时，比如87，54或者32，这个两位数的加和形式才需要3个非零回文数；2.3.2）对于其它两位数，比如38，71或者45，其加和实际上只需要2个非零回文数。

两位数得证。

3）对于三位数 $\overline{abc}$ ，我们考虑a和 b的大小关系。

3.1.1）在 $a <= b$ 的情况下，如果同时 $a <= c$ ，那么我们可以有 $\overline{abc} = \overline{aba} + (c-a) + 0$ ，其中 $c-a$ 是一个0-9区间内的一位数。以368为例， $368 = 363 + 5 + 0$ 。特殊地，如果 $a = c$ ，那么 $\overline{aba} = \overline{aba} + 0 + 0$ 。

3.1.2）在 $a <= b$ 的情况下，如果同时 $a > c$ ，那么我们可以有 $\overline{abc} = \overline{a(b-1)c} + (10+c-a) + 0$ ，其中 $10+c-a$ 是一个1-9区间内的一位数。因为 $a <= b$ ， $a >= 1$ ，所以 $b >= 1$ ， $b-1 >= 0$ ，所以这里不存在百位上借位的问题。以110为例， $110 = 101 + 9 + 0$ 。

3.2）在 $a > b$ 的情况下，我们可以先将 $\overline{abc}$ 分解成为一个三位回文数和一个两位数，即 $\overline{abc} = \overline{(a-1)9(a-1)} + (11+10b+c-a)$ 。因为 $a > b$ ，所以 $b <= 8$ ，有 $(11+10b+c-a) < (11+10b+c-b) = 11+9b+c <= 83+c$ ，所以 $(11+10b+c-a)$ 一定是个两位数。以867为例， $867 = 797 + 70$ 。又以952为例， $952 = 898 + 54$ 。

3.2.1）如果 $(11+10b+c-a)$ 这个两位数不属于十位数字比个位数字大1的情况，那么根据2.3.2）的结论，这个两位数可以表示成为两个回文数之和，加上 $\overline{(a-1)9(a-1)}$ ，即 $\overline{abc}$ 可以表示为三个回文数之和。以867为例， $867 = 797 + 70 = 797 + 66 + 4$ 。

3.2.2）如果 $(11+10b+c-a)$ 这个两位数属于十位数字比个位数字大1的情况，那么我们将 $\overline{(a-1)9(a-1)}$ 改写为 $\overline{(a-1)8(a-1)}$ ，这样剩余的数将比原来的二位数大10，从而不再属于十位数字比个位数字大1的情况，进而可以表示成为两个回文数之和。以952为例， $952 = 898 + 54 = 888 + 64 = 888 + 55 + 9$ 。