什么是固体物理中的电子共有化

作者: Never肥宅 | 来源:发表于2020-02-23 20:02 被阅读0次

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一、电子的共有化
晶体是大量的分子、原子或者是离子按照一定的规则排列成的点阵结构。
因此在晶体结构中电子受到周期性势场的作用。
在讨论晶体之前我们先来考虑单个原子的势能是什么样子的
$U = - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r}$
因此其势能曲线应为

单个原子
如果是两个原子，则其变为

两个原子
两个原子间出现的势能曲线便是势阱叠加后出现的势垒，换言之，只有当原子中的某个电子能量超过这个势垒的高度，它才能到达另一个原子所在的区域。

多个原子
当原子再增多的时候，就会出现这样周期性的势垒。
此时需要解薛定谔方程来计算电子的运动。
晶格中任一格点的位置可以使用晶格矢量

$\vec{R_m} = m_1\vec{a_1} + m_2\vec{a_2} + m_3\vec{a_3} = \sum _{i=1}^{3}m_i\vec{a_i}$

考虑晶体中的某个单电子，其所受库仑力仅与自身位置有关，可列定态薛定谔方程
$-\frac{ \hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi+V\Psi = E \Psi$
求解该二阶线性偏微分方程，Ψ(x,y,z)为待求复数函数，因V( $\vec{r}$ )相同的周期性，由布洛赫定理有
$Ψ_\vec{k} \vec{r}=e^{(i\vec{k}\vec{r})} u_\vec{k}(\vec{r})$
，其中
$u_\vec{k}$
与V的周期性相同。
因此有

$\Psi_\vec{k}(\vec{r}+\vec{R_m}) = e^{i\vec{k}(\vec{r}+\vec{R_m})}u_\vec{k}(\vec{r}+\vec{R_m})= e^{i\vec{k}\vec{R_m}} \Psi_k(\vec{r})$

$e^{(i\vec{k} (\vec{R_m}) )}$ 的模为1，因此不同晶胞中电子的波函数 $|Ψ_\vec{k} (\vec{r} )^2 |$ 是相同的，即在各个晶胞中，相对应点电子出现的概率是相同的。
因此，根据波函数的周期性可以知道，属于某个原子的电子既可以在该原子附近运动，也可以在其他原子附近运动。
具有高能级的电子如 $E1$ 由于其受原子核束缚小，势垒 $V−E_1$ 较小，因此其可以通过隧道效应，电子可以越过图中的势垒 $V$ 进而到达其他势阱，共有化程度高，而能级较低的电子则较难穿过势垒，其共有化程度也相对较低，一般不是共有化电子。一