2022-09-30 (JT gravity with the

作者: 悟空金月饺子 | 来源:发表于2022-10-03 16:44 被阅读0次

D.L. Jafferis, D.K. Kolchmeryer, B. Mukhametzhanov, J. Sooner, "Matrix models for eigenstate thermalization" & "JT gravity with the matter, generalized ETH and Random Matrices"
是继SSS的"JT gravity as a matrix integral"之后比较期待的一个工作。期待的结果主要有两个：1. 关于JT+matter 的计算，特别是在higher-genus情况下的讨论。2. 它的对偶matrix model的描述。
不过比较遗憾，这两个问题都没有完全解决。当然这两篇工作是做了很重要的推进，不过还是因为技术原因，完全解决这两个问题还是有一些困难。

之前的工作 or

当我们说JT 引力等价于一个matrix 理论的时候我们在说什么？
计算层面来说就是，JT引力里面的每一个可能的路劲积分（引力振幅）都等价一个matrix integral。
可能的路径积分是指：可以考虑所有的2维hyperbolic space，任意的genus，任意多的边界过个数，每个边界对应一个operator $\text{Tr}(e^{-\beta H})$ 。genus 的展开对应了matrix integral 里面large N的展开。

我们尝试把物质场放进去。最简单的就是放入没有dynamics 的EOW。其实我们可以把EOW看成是一种新的边界，所以对应了一个新的operator，只不过这个operator不但依赖于 $H$ 还依赖与一个新的描述EOW自由度的matrix $C$ 。 $C$ 在matrix integral 里也有自己的measure，最简单的情况是选择 $C$ 是Gaussian的，这样我们matrix integral 的measure 就变成
$\mathcal{Z}=\int dC dC^\dagger \exp(-tr(C^\dagger C))\int dH \exp(-L tr(V(H)))$

也就是说我们的模型是一个decoupled 的 two-matrix model。

JT+matter

EOW brane 更像是一个经典的massive particle。我们要考虑一个完全的量子理论，最简单的情况是couple 一个scalar field。在AdS/CFT的对偶下，scalar field在边界上对应了一个operator $\mathcal{O}$ ，这里我们也期待他在matrix model 里也对应了一个简单的matrix，这样在引力这边我们可以计算的观测量是关联函数
$\langle \text{Tr} e^{-\beta H}\mathcal{O}(\tau_1)\dots \mathcal{O}(\tau_n)\rangle$
就能比较自然的翻译成一个matrix integral。要找到的正确的matrix integral的measure，先要在引力这边把这些关联函数算出来，然后尝试找到合适的measure去reproduce这个结果。
但是在引力这边的计算已经是很technical 了，事实是我们只会在disk 上面算这些关联函数。在higher-genus 上，如何把物质场1-loop的结果加进来并不是很显然。因为higher-genus的曲面有一些non-trivial的loop，所以我们要算一些带有物质场绕这些loop的Feynman 图。文章是conjecture了一些计算这些Feynman 图的规则。

在半经典（large N）的极限下，free scalar 对应了generalized free field theory，他的关联函数都factorize 成2点函数的组合。简单的想，我们还是可以认为 $\mathcal{O}$ 是类似于EOW中的 $C$ 满足一个Gaussian 分布的。但是事实上并不是那么简单。一个原因就是引力中算的4点函数是满足crossing 对称性的：s,t,u 三个channel的振幅是在同一个量级的。但是如果 $\mathcal{O}$ 是个Gaussian matrix，u channel 不是平面图，所以他会被 $1/N$ 压低，要保证3个channel还是同一个量级的，我们必须在measure 加入一个新的non-trivial 的4点相互作用来capture u channel的贡献。更一般的情况（beyong large N）我们会假设
$\mathcal{Z}=\int d\mu[H]d\mu[\mathcal{O}]e^{-V(H,\mathcal{O})}=\int d\mu[H]d\mu[\mathcal{O}]\exp\left(e^{S_0}\sum_n\sum_{a_i}G^{(n)}(E_{a_i})\mathcal{O}_{a_1a_2}\dots \mathcal{O}_{a_n a_1}\right)$
并把这个当做一般ETH的推广。一般ETH的假设是
$\langle E_a|\mathcal{O}|E_b\rangle=\overline{\langle E_a|\mathcal{O}|E_b\rangle}\delta_{ab}+e^{-S(\bar{E]})/2}f_{\mathcal{O}}(E_a,E_b)R_{ab},$
这里 $R_{ab}$ 是一个Gaussian random matrix。有点像做实验，我们不断地调节我们model的参数来match 观测结果（引力的计算）。

当然如果参数足够多，似乎我们总会成功。这里还是做了一些"物理"上的限制：对于一个n-点相互作用，它也只和n 个能级相关而不是 $2n$ ，换句话说这些相互作用的效果就是打乱交换指标，或者说 $2n$ 个指标要互相配对，否则振幅为 $0$ . 这样要求的物理原因是能量本征态是"混沌"的，当对能量本征态的相位求和的时候，只要配对后相位相消才会给出非0 的结果。

如何定出这些新的相互作用？

如果有matrix 的对偶，我们当然还期待 matrix integral 的genus expansion的递推关系还存在。也就是整个积分是由disk上面的data唯一确定。所以我们只需要通过match disk上面的引力计算的data来定下我们的two-matrix model，然后check higher-genus的结果是还可以match。简单的办法还是match 两边的“Feynman 图”。

还有一种方法是来求解operator 满足的constraint。因为我们知道在large N 的时候， $\mathcal{O}$ 是generalized free theory，他要满足一些operator equation。这个equation的解唯一确定了这个理论，所以我们也可以尝试propose 一些在finite N的时候需要满足 operator equation，然后通过求解这个方程来确定我们的理论。当然这比较困难，文章也只是在disk的level 实现了这个方法。

困难

为什么说开头的两个目标还没有完成呢？一个很大的原因是在考虑非Gaussian 的相互作用后，就会面临发散的问题，就需要考虑正规化的问题。所以我们需要的技术是matrix model的重整化理论，不过目前这个技术还不具备。一个原因是JT+matter 本身就不是UV complete的，也就是不可重整化的，所以发散问题从根本上就是不能解决的，不过还是可以考虑一些正规化方案，然后尝试从里面得到一些物理的结果。不过这个方面也不是很成功，比如我们太清楚在这些正规化方案的引力解释是什么从而也无法把正规化的结果和引力的结果直接比较。

2022-09-30 (JT gravity with the

之前的工作 or

JT+matter

如何定出这些新的相互作用？

困难

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