之前也写了有关AdS2还有JT gravity的一些思考，这次因为准备seminar的报告，更仔细地读了文献，可能之前的理解有一些错误，但是也不确定现在的理解是最正确的，特别是讲的时候，引起了大家的激烈的讨论。还是想写一写整理一下自己的理解。
2维和3维的纯引力理论的特殊的地方就是在bulk里他们都没有local dynamical degree of freedom，所以如果考虑具有constant negative curvature的解的话，locally 都只能是AdS2或AdS3。但是这并不意味这，理论的解空间或者相空间是trivial的。这是因为理论的解还依赖我们选取的边界条件。因为系统没有local自由度，所以每一个边界条件都只对应一个解。这就也是说，我们可以认为解空间(相空间)=可以选取的边界条件构成的空间：{solution}={boundary condition}。首先的问题是什么边界条件？为了方便我们可以考虑Euclidean的情况，首先我们要identify一个半径方向，这样我们就可以定义无穷远，空间的边界就是这个在无穷远处的的一个包围整个空间的一个曲面（codimension-1 ）。所以边界条件就是包含两个限定：1 反映无穷远，就是随着径向的发散行为。2 这个曲面intrinsic property，比如这个曲面的induced matric。
先是考虑AdS3 的情况，边界是一个cylinder。首先我们要确定限定 1：径向的发散行为，这个选择一般是唯一（不是绝对唯一的）的，因为只有在某些特定的发散行为下才是可能有解的。比较著名的是Brown&Heanuex 。限定2就比较有任意性，属于人为手动加入，最简单就是让这个曲面的induced matric 是flat的。上面我们说过了边界条件的集合等于解空间的集合。这里我们很清楚边界条件的集合就是{all the possible induced matric}, 这里的all the possible的意思就是所有满足限定1的可能。而不同的曲面是通过diffeomorphism联系起来的，也就是说{all the possible induced matric}={all the possible diffeomorphism}。所以最后我们有{solution}={all the possible diffeomorphism}，因为不同diffeomorphism把一个解映射到另一个解，所以这个diffeomorphism是物理的。这对应了所有的asymptotic symmetry。所以我们有{solution}={all the possible diffeomorphism}=ASG，因为我们有两个坐标的diffeomorphism，所以解空间是由两个任何的函数来描述的。所有的这些解都对应了ground states，因为他们都是action的saddle points，也就是说ground states 是有degeneracy的，这就有spontaneous symmetry breaking的机制了。在ads/cft的对偶下，一般我们选取pure ads3作为我们基态，ASG 被破坏，根据spontaneous symmetry breaking的机制，就应该有对应Goldstone modes，我们成为boundary graviton，是理论的物理激发之一，另外可能的激发就是黑洞。
然后考虑AdS2的情况，边界是一个closed curve。同样的我们要确定限定 1：径向的发散行为。类比AdS3的情况，{solution}={all the possible diffeomorphism}，这时因为只有一个坐标的diffeomorphism，所以解空间是由一个任意函数来描述的。可以理解这个函数generate 了closed curve 的 diffeormphism，也可以认为这个函数参数化了这个closed curve。很自然地我们还是有{solution}={all the possible diffeomorphism}=ASG/Sl(2)。这里有个subtlety，就是我们去掉那些closed curve 到自己本身的映射。也就是S1 到 S1 的映射 所以是Sl（2）。还是考虑spontaneous symmetry breaking，最后我们是破缺到了Sl（2）。对应Goldstone mode 还是可以理解为boundary graviton，
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