PCA理解与应用。
Motivation
- PCA与Factor analysis非常相似，都是主要用于reduction data dimensions。但PCA的想法相比于Factor analysis更简单，实现起来也更加直观和容易（只需要算特征值）。
- PCA tries to identify the subspace in which the data approximately lies.
- 一个很简单的例子是，我们的数据中可能存在很多属性是高度相关的，那么这些属性实际上是有冗余的，如果我们直接用原始数据进行训练，有可能会受到
Curse of dimensionality，同时增大计算量，增加模型过拟合的程度。
算法流程
数据预处理
首先，我们需要对数据进行标准化：
这里让数据的每个维度的期望变为0，方差变为1，使得不同维度具有可比性。
推导
PCA有多种推导方式，最直观的方式是最大方差和最小平方误差。
最大方差理论
在信号处理中认为信号具有较大的方差，噪声有较小的方差，信噪比就是信号与噪声的方差比，越大越好。
一个直观的想法是，我们从维的feature space投影到
维到feature subspace时，希望使得其方差能最大化的得到保留（也就是数据之间的差异性保留越多越好）
设投影到新的单位向量中，那么投影点和原点的距离是
。我们的目标是求最佳的
，使得投影后的样本点方差最大。
由于这些样本点（样例）的每一维特征均值都为 0，因此投影到 u 上的样本点（只 有一个到原点的距离值）的均值仍然是 0。
因此我们只需要方差最大化，而方差就是投影点到原点的距离的平方和：
可以通过简单的Lagrange变换，得到目标函数的最大值就等于求最大的特征向量。
因此，我们只需要对协方差矩阵进行特征值分解，得到的前 k 大特征值对应的特征向量 就是最佳的 k 维新特征，而且这 k 维新特征是正交的。得到前 k 个 u 以后，样例通过以下变换可以得到新的样本。
通过选取最大的 k 个 u，使得方差较小的特征（如噪声）被丢弃。
最小平方误差理论
回想我们最开始学习的线性回归等，目的也是求一个线性函数使得直线能够最佳拟合样本点，那么我们能不能认为最佳的直线就是回归后的直线呢？回归时我们的最小二乘法度量的是样本点到直线的坐标轴距离。
我们打算选用另外一种评价直线好坏的方法，使用点到直线的距离 d’来度量。
将样本点在直线上的投影记为
，那么我们就是要最小化
这个公式称作最小平方误差（Least Squared Error）。
而确定一条直线，一般只需要确定一个点，并且确定方向即可。（推导可参考这里）
应用
- PCA 将 n 个特征降维到 k 个，可以用来进行数据压缩，如果 100 维的向量最后可以用 10 维来表示，那么压缩率为 90%。同样图像处理领域的 KL 变换使用 PCA 做图像压缩。但 PCA 要保证降维后，还要保证数据的特性损失最小。
- 可用于数据预处理，减少feature space的大小，从而减少运算，减少overfitting。
- 可用于noise reduction algorithm。
- Match/define better calculation
- 例如在人脸相似度匹配中，一个图像中属于人脸的并不是主要部分，而大部分都是噪声，因此我们可以使用PCA降维，使得某些维度能够衡量脸的形状大小等等。
- 在计算相似度时，将两个图像通过PCA投影到子空间，再通过距离度量。
总结
- PCA 的思想是将 n 维特征映射到 k 维上（k<n），这 k 维是全新的正交特征。这 k 维特征称为主元，是重新构造出来的 k 维特征，他们能从方差的角度最大化的保留数据存在的差异，并减少维度。
- PCA 技术的一个很大的优点是，它是完全无参数限制的。在 PCA 的计算过程中完全不 需要人为的设定参数或是根据任何经验模型对计算进行干预，最后的结果只与数据相关， 与用户是独立的。
- 但是，这一点同时也可以看作是缺点。如果用户对观测对象有一定的先验知识，掌握了 数据的一些特征，却无法通过参数化等方法对处理过程进行干预，可能会得不到预期的 效果，效率也不高。
- 有时数据的分布并不是满足高斯分布。如图表 5 所示，在非高斯分布的情况下，PCA 方法得出的主元可能并不是最优的。在寻找主元时不能将方差作为衡量重要性的标准。
Reference
- A TUTORIAL ON PRINCIPAL COMPONENT ANALYSIS
- CS229 notes10
- http://www.cmlab.csie.ntu.edu.tw/~cyy/learning/tutorials/PCAMissingData.pdf
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